Home/ Intrebari/Q 93156
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Emil Gheorghiu
Pe: 2019-12-14T17:59:27+02:00 In: In:

Determinarea inversei

Stiind ca următoarea funcție este bijectiva, determinați inversa acesteia: f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}
Mulțumes.

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Funcția dată este bijectivă dacă și numai dacă, pentru orice y din R (codomeniu), ecuația f(x)=y are o singură soluție în (0; 1) (domeniu). Atunci expresia în variabila y a inversei este tocmai expresia soluției din intervalul (0; 1) a acestei ecuații.
    f(x)=y devine, dupa eliminarea numitorilor, yx^2-(y-2)x-1=0.
    Pentru y=0 ecuatația este de gradul 1 și are soluția unică x=1/2, aflată chiar în interval.
    Pentru y>0: f(0)=-1 are semn contrar lui „a”, iar f(1)=1 are semnul lui „a”; asta înseamnă că rădăcinile ecuației au următoarea situare, y_1<0<y_2<1, deci în intervalul (0; 1) se află rădăcina mai mare,
    \frac{y-2+\sqrt{y^2+4}}{2y}.
    Pentru y<0: f(0)=-1 are semnul lui „a”, iar f(1)=1 are semn contrar lui „a”; asta înseamnă că rădăcinile ecuației au următoarea situare, 0<y_1<1<y_2, deci în intervalul (0; 1) se află rădăcina mai mică,
    \frac{y-2+\sqrt{y^2+4}}{2y}.
    Putem spune f^{-1}:\mathbb{R}\to (0;1),\;f^{-1}(y)=\begin{cases}\frac{y-2+\sqrt{y^2+4}}{2y}\;pentru\;y\neq 0\\\frac {1}{2}\;pentru\;y=0\end{cases}.
    Dacă însă amplificăm expresia cu conjugata numărătorului, avem și f^{-1}(y)=\frac{-2}{y-2-\sqrt{y^2+4}}
    expresie care este definită și în 0 și chiar ia valoarea 1/2 în acest punct.

Raspunde

Raspunde