Home/ Intrebari/Q 93143
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2019-10-09T15:29:37+03:00 In: In:

Inegalitati

Demonstrati inegalitatea :
\frac{4x+4y+3}{x+y+2z}+\frac{4y+4z+3}{y+z+2x}+\frac{4z+4x+3}{z+x+2y}\geq 6+\frac{27}{4\left ( x+y+z \right )}\forall x,y,z\in \mathbb{R}

Similare

8 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Am dat niste valori la intamplare si pare falsa 🙂

  2. Felixx
    veteran (III)

    Am facut mai multe incercari esuate de a demonstra inegalitatea, dar chiar nu m-am gandit ca ar putea fi falsa dupa cum spuneti dumneavoastra si calculele de pe Wolframalpha care confirma aceasta.Eu asa am primit-o,probabil e gresita. Multumesc.

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Eu mereu incerc sa fac o proba cand vad inegalitati ‘urate’ 🙂 (27 de la numarator, 6-le acela ciudat). Inegalitatea arata foarte cunoscut, cel putin acel 27.

  5. Felixx
    veteran (III)

    Am rasfoit din nou dupa ani de zile „Mihai Onucu Drimbe-Inegalitati-idei si metode-Biblioteca Olimpiadelor de matematica” tocmai din aceasta cauza,imi parea si mie cunoscuta,dar nu am dovedit-o.

  6. A_Cristian
    expert (VI)

    Daca x,y,z sunt reale, putem sa ne gandim la un caz la limita, atunci cand x+y+x tinde la 0, iar x, y, z sunt diferite de 0. Evident ca termenul poate sa „explodeze” spre infinit, pe cand membrul stang este limitat. Atunci ramane de studiat problema pt x,y,z numere strict pozitive.

  8. Felixx
    veteran (III)

    Se pare ca x>0,y>0,z>0. Atunci inegalitatea mai poate fi scrisa:
    \frac{4\left ( x+y \right )+3}{\left ( x+y \right )+2z}+\frac{4\left ( y+z \right )+3}{\left ( y+z \right )+2x}+\frac{4\left ( z+x \right )+3}{\left ( z+x \right )+2y}\geq 6+\frac{27}{4\left ( x+y+z \right )}
    Notam partile care se repeta din membrul stang :
    x+y=a,a>0
    y+z=b,b>0
    z+x=c,c>0
    Atunci avem :
    x+y+2z=b+c,y+z+2x=a+c,x+y+2y=a+b si 4(x+y+c)=2(a+b+c)
    Prin urmare avem de aratat ca :
    \frac{4a+3}{b+c}+\frac{4b+3}{a+c}+\frac{4c+3}{a+b}\geq 6+\frac{27}{2\left ( a+b+c \right )}\forall a,b,c> 0

    4\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right )+3\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 4\cdot \frac{3}{2}+3\cdot \frac{9}{2\left ( a+b+c \right )}=6+\frac{27}{2\left ( a+b+c \right )}
    Am aplicat inegaliatea cunoscuta :
    \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\forall a,b,c> 0
    Mai avem de aratat ca :
    \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2\left ( a+b+c \right )}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow 3+\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\forall a,b,c> 0
    ceea ce este adevarat.

  9. ghioknt
    profesor

    Fie s, x, y, z numere pozitive și funcțiile definite prin
    f_s(t)=\frac{3+4s-4t}{s+t}\;cu\;f_s''(t)=\frac{2(3+8s)}{(s+t)^2}>0\;\forall t>0.
    Asta înseamnă că funcțiile f_s sunt convexe pe intervalul (0, oo), deci are loc (inegalitatea Jensen):
    f_s(x)+f_s(y)+f_s(z)\geq 3f_s(\frac{x+y+z}{3})\Leftrightarrow
    \frac{3+4s-4x}{s+x}+\frac{3+4s-4y}{s+y}+\frac{3+4s-4z}{s+z}\geq 3\frac{9+12s-4(x+y+z)}{3s+x+y+z}.
    Pentru s=x+y+z această inegalitate se transformă în inegalitatea de demonstrat.

  10. Felixx
    veteran (III)

    Multumesc,domnule ghioknt.
    Eu m-am gandit s-o rezolv la nivel de clasa a IX-a. Puteti sa-mi spuneti ,de unde v-a venit ideea geniala de a introduce aceasta functie(ma refer la forma ei ) ?

Raspunde

Raspunde