Home/ Intrebari/Q 93143
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2019-10-09T15:29:37+03:00 In: In:

Inegalitati

Demonstrati inegalitatea :
\frac{4x+4y+3}{x+y+2z}+\frac{4y+4z+3}{y+z+2x}+\frac{4z+4x+3}{z+x+2y}\geq 6+\frac{27}{4\left ( x+y+z \right )}\forall x,y,z\in \mathbb{R}

Similare

8 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Am dat niste valori la intamplare si pare falsa 🙂

    • 0
  2. Felixx
    veteran (III)

    Am facut mai multe incercari esuate de a demonstra inegalitatea, dar chiar nu m-am gandit ca ar putea fi falsa dupa cum spuneti dumneavoastra si calculele de pe Wolframalpha care confirma aceasta.Eu asa am primit-o,probabil e gresita. Multumesc.

    • 0
  4. PhantomR
    expert (VI)

    Eu mereu incerc sa fac o proba cand vad inegalitati ‘urate’ 🙂 (27 de la numarator, 6-le acela ciudat). Inegalitatea arata foarte cunoscut, cel putin acel 27.

    • 0
  5. Felixx
    veteran (III)

    Am rasfoit din nou dupa ani de zile „Mihai Onucu Drimbe-Inegalitati-idei si metode-Biblioteca Olimpiadelor de matematica” tocmai din aceasta cauza,imi parea si mie cunoscuta,dar nu am dovedit-o.

    • 0
  6. A_Cristian
    expert (VI)

    Daca x,y,z sunt reale, putem sa ne gandim la un caz la limita, atunci cand x+y+x tinde la 0, iar x, y, z sunt diferite de 0. Evident ca termenul poate sa „explodeze” spre infinit, pe cand membrul stang este limitat. Atunci ramane de studiat problema pt x,y,z numere strict pozitive.

    • 0
  8. Felixx
    veteran (III)

    Se pare ca x>0,y>0,z>0. Atunci inegalitatea mai poate fi scrisa:
    \frac{4\left ( x+y \right )+3}{\left ( x+y \right )+2z}+\frac{4\left ( y+z \right )+3}{\left ( y+z \right )+2x}+\frac{4\left ( z+x \right )+3}{\left ( z+x \right )+2y}\geq 6+\frac{27}{4\left ( x+y+z \right )}
    Notam partile care se repeta din membrul stang :
    x+y=a,a>0
    y+z=b,b>0
    z+x=c,c>0
    Atunci avem :
    x+y+2z=b+c,y+z+2x=a+c,x+y+2y=a+b si 4(x+y+c)=2(a+b+c)
    Prin urmare avem de aratat ca :
    \frac{4a+3}{b+c}+\frac{4b+3}{a+c}+\frac{4c+3}{a+b}\geq 6+\frac{27}{2\left ( a+b+c \right )}\forall a,b,c> 0

    4\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right )+3\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 4\cdot \frac{3}{2}+3\cdot \frac{9}{2\left ( a+b+c \right )}=6+\frac{27}{2\left ( a+b+c \right )}
    Am aplicat inegaliatea cunoscuta :
    \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\forall a,b,c> 0
    Mai avem de aratat ca :
    \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{2\left ( a+b+c \right )}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow 3+\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}\forall a,b,c> 0
    ceea ce este adevarat.

    • 0
  9. ghioknt
    profesor

    Fie s, x, y, z numere pozitive și funcțiile definite prin
    f_s(t)=\frac{3+4s-4t}{s+t}\;cu\;f_s''(t)=\frac{2(3+8s)}{(s+t)^2}>0\;\forall t>0.
    Asta înseamnă că funcțiile f_s sunt convexe pe intervalul (0, oo), deci are loc (inegalitatea Jensen):
    f_s(x)+f_s(y)+f_s(z)\geq 3f_s(\frac{x+y+z}{3})\Leftrightarrow
    \frac{3+4s-4x}{s+x}+\frac{3+4s-4y}{s+y}+\frac{3+4s-4z}{s+z}\geq 3\frac{9+12s-4(x+y+z)}{3s+x+y+z}.
    Pentru s=x+y+z această inegalitate se transformă în inegalitatea de demonstrat.

    • 0
  10. Felixx
    veteran (III)

    Multumesc,domnule ghioknt.
    Eu m-am gandit s-o rezolv la nivel de clasa a IX-a. Puteti sa-mi spuneti ,de unde v-a venit ideea geniala de a introduce aceasta functie(ma refer la forma ei ) ?

    • 0
Raspunde

Raspunde