Home/ Intrebari/Q 92717
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Alex Stoica
user (0)
Pe: 2018-05-28T17:09:11+03:00 In: In:

UTCN 1033, 1034

As avea nevoie de ajutor la exercitiile 1033 si 1034.

https://imgur.com/a/uaObqcv

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Șirul de la 1033 este o sumă Riemann pentru integrala de la 1032, deci cele două probleme au același răspuns.
    Limita de la 1034 este de același tip cu cea de la
    Cum demonstrația de acolo e cam trasă de păr, o să încerc o variantă mai clară, în care să folosesc faptul că funcția
    \sin \frac{\pi x}{2} este derivabilă cu derivată continuă, iar x^{2n+1}\geq 0 pe intervalul [0; 1].
    n\int_{0}^{1}x^{2n}\sin \frac{\pi x}{2}dx=\frac{n}{2n+1}\left ( x^{2n+1}\sin \frac{\pi x}{2} \right )|_0^1-\frac{n}{2n+1}\cdot \frac{\pi }{2}\int_{0}^{1}x^{2n+1}\cos \frac{\pi x}{2}dx=\\=\frac{n}{2n+1}-\frac{n}{2n+1}\cdot \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi c}{2}\int_{0}^{1}x^{2n+1}dx=\frac{n}{2n+1}-\frac{n}{2n+1}\cdot \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi c}{2}\cdot \frac{1}{2n+2}
    și are limita 1/2. Deci limita cerută este \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{\pi}.
    Am folosit următoarea teoremă de medie: daca f este continuă, iar g nenegativă pe [a; b], atunci
    \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx,\;cu \;c\in (a;b).

    • 0
Raspunde

Raspunde