Home/ Intrebari/Q 92628
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

pp
Pe: 2018-04-11T15:32:46+03:00 In: In:

BAC/Analiza

1)Fie functia:
f:[1,+\alpha] \rightarrow R, f(x)=lnx-2\cdot \frac{x-1}{x+1}
Aratati ca \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+.....+ \frac{1}{2n+1}<\frac{1}{2}ln(n+1) oricare ar fi n natural si diferit de 0.
La punctele anterioare trebuia sa demonstrez ca e crescatoare si ca nu are asimptote…Prin urmare m-am folosit de punctul a.. f e crescatoare si am facut:
f(2)-f(1)>0
f(3)-f(2)>0
………….
f(n+1)-f(n)>0
––––––––––
adunandu-le se simpifica si ramane f(n+1)>f(1)=0-> ln(n+1)-2 \frac{n}{n+2} >0 dar nu stiu cum sa ajung la suma aceea..
2)In=\int_{0}^{1} x^{2n_+1}cosx \cdot dx
Aratati ca 0<In<\frac{1}{2n+2}

Similare

2 raspunsuri

  1. jklR7

    Pentru problema 2 o soluție posibilă este:

    x\in (0,1) => x^{2n+1}\in (0,1) (1)
    x\in (0,1)\subset (0,\frac{\pi }{2})=> \cos x\in (0,1) (2)
    (1), (2) => x^{2n+1}\cdot \cos x >0 => \int_{0}^{1}x^{2n+1}\cdot \cos x dx>0 => I_{n}>0
    \cos x<1 => x^{2n+1}\cdot \cos x<x^{2n+1} => \int_{0}^{1}x^{2n+1}\cdot \cos x dx< \int_{0}^{1}x^{2n+1}dx=\frac{1}{2n+2} => I_{n}<\frac{1}{2n+2}
    Riguros ar fi ca atunci când se integrează o inegalitate să se precizeze faptul că expresia constituie o funcție integrabilă. Totodată în cazul in care te intrebi de ce x\in (0,1) și nu x\in [0,1] aceasta este pentru ca integrala definită reprezintă o arie și deci se pot neglija capetele. De acolo și inegalitatea dublă care se cere a fi demonstrata este strictă. La nivel de bacalaureat, acestea sunt chestiuni legate de detaliu nu trebuie tratate atât de riguros, însă în alte circumstanțe ar putea conta.

  2. Felixx
    veteran (III)

    Din f strict crescatoare si f\left ( x \right )> f\left ( 1 \right )=0,\forall x\in \left ( 1,+\infty \right ) avem f\left ( x \right )> 0\Leftrightarrow lnx-2\cdot \frac{x-1}{x+1}> 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}lnx> \frac{x-1}{x+1} unde inlocuind pe x cu x/y obtinem:
    \frac{1}{2}\cdot ln\frac{x}{y}> \frac{x-y}{x+y},\forall x,y\in \left ( 0,+oo \right ),x> y
    Fie x=k+1 si y=k,k\geq 1.Atunci \frac{1}{2}ln\frac{k+1}{k}> \frac{1}{2k+1},\forall k\geq 1 unde trecand la suma avem :
    \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}< \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}ln\frac{k+1}{k}
    \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2n+1}< \frac{1}{2}\left ( ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+...+ln\frac{n+1}{n} \right )=\frac{1}{2}ln\left ( \frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot ...\cdot \frac{n+1}{n} \right )=\frac{1}{2}ln\left ( n+1 \right )

Raspunde

Raspunde