Home/ Intrebari/Q 85872
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

xor_NTG
maestru (V)
Pe: 2014-03-15T17:37:32+02:00 In: In:

Limita din integrala

Am urmatoarea integrala:

    \[ I_n = \int\limits_0^1 {\frac{{x^n }}{{x^2 + 1}}dx} \]

La ultimul punct imi cere:

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } nI_n \]

La rezolvari ei incearca sa calculeze limita utilizand criteriul clestelui. Prima inegalitate se obtine din monotonia sirului, iar a doua (pe care am inteles-o) din punctul b), la care cere sa demonstram ca

    \[ I_{n + 2} + I_n = \frac{1}{{n + 1}} \]

Spune asa:

    \[ x^{n + 1} \le x^n \,\,\,\,\,\,\,\,\forall \,\,x \in \left[ {0,1} \right] \Rightarrow I_{n + 1} < I_n \]

De aici obtinem:

    \[ I_n + I_{n + 1} \le 2I_n \Rightarrow \frac{n}{{2\left( {n + 1} \right)}} \le nI_n \]

Ei bine, nu imi explic cum au putut ei sa ajunga la acea ultima inegalitate.

Adica ok, am observat ca: \[ I_n + I_{n + 1} \le 2I_n \left| {] , deci

    \[ I_n + I_{n + 1} \]

trebuie sa fie egal cu

    \[ \frac{1}{{n + 1}} \]

, ceea ce nu pot demonstra, pentru ca:

    \[ I_n + I_{n + 1} = \int\limits_0^1 {\frac{{x^n + x^{n + 1} }}{{x^2 + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{x^n \left( {x + 1} \right)}}{{x^2 + 1}}dx} \]

nu stiu ce sa ii fac mai departe…Dar oricum, din b) avem ca

    \[ I_{n + 2} + I_n = \frac{1}{{n + 1}} \]

, iar aceasta ultima egalitate pe care incerc sa o demonstrez (in ideea de a intelege rezolvarea lor) nu are cum sa existe practic, din moment ce b)-ul are acea forma.

Care e problema aici? Exista o alta modalitate de rezolvare?

Multumesc.

Similare

2 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    De I_{n+2}+I_{n} era probabil ideea sa se foloseasca.

    In primul rand I_{n+2}+I_n\leq I_{n}+I_n=2I_n, de unde I_n\geq \frac{1}{2(n+1)}, adica nI_n\geq \frac{n}{2n+2},n\geq 1. (1)

    Apoi, avem 2I_{n+2}=I_{n+2}+I_{n+2}\leq I_{n+2}+I_n=\frac{1}{n+1}.
    Consideram n\geq 3 si schimbam n\to n-2, de unde 2I_n\leq \frac{1}{n-1}, adica 

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:
I_n\leq \frac{1}{2(n-1)

*** Error message:
File ended while scanning use of \frac .
Emergency stop.

    si deci nI_n\leq \frac{n}{2(n-1)},n\geq 3 (2)

    Din (1) si (2) avem deci \frac{n}{2n+2}\leq nI_n\leq \frac{n}{2n-2},n\geq 3. Din Criteriul clestelui😀

  2. DD
    profesor

    Voi pleca de la relatia I_(n+2)+I_n=1/(n+1)sau; {(n+2).I_(n+2)}/(n+2)+{n.I_n}/n=1/(n+1)Cand n->infinit(n+2).I_(n+2)=nI_n=L si vom avea ;
    L(1/(n+2)+1/n)=1/(n+1)->L=n(n+2)/[2.(n+1)^2] .Pentru n->infinit L->1/2

Raspunde

Raspunde