![\arcsin{\sqrt{x}}+\arcsin{\sqrt{1-x}}=\frac{\pi}{2},\forall x\in [0,1]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2729e3310f6d6e69c79c42f6b610d103_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Am si eu cateva intrebari,referitoare la rezolvarea acestei egalitati de natura „logica sau de bine definire”.
Daca compunem cu functia sinus obtinem 1=1 (adevarat),insa in rezolvare mai este nevoie si de a spune ca expresia din stanga apartine intervalului (0,pi) ,iar in acest interval functia sinus ia doar val 1??
Dupa mintea mea ,eu as zice ca Nu,pt ca perioada functiei sinus este de forma 2kpi,iar o alta valoare pt care functia sinus mai da 1 este una la cel putin 2pi departare de pi/2 ,ori functia arcsin este bijectiva si este def pe -pi/2 ,pi/2 deci e clar ca este unic acel sinus pt ca daca ar fi fost o alta val inafara de pi/2 noi puteam trage din prima concluzia ca nu se poate intampla egalitatea pt ca arcsin a+ arcsinb poate atinge val maxim pi.(in dreapta sa fi avut un nr >pi)
Fie arcsin√x=α (unghi in radiani), respectiv; sinα=√x si arcsin√(1-x)=ß respectiv sinß=√1-x. In acest caz arcsin√x+arcsin√(1-x)=α+ß Sa aplicam sumei α+ß functia ”cos” si avem; ; cos(α+ß)=cosα.cosß-sinαsinß. Cum insa sinα=√x rezulta cosα=√(1-(sinα)^2)=√(1-(√x)^2)=√(1-x) si cum sinß=
√(1-x) rezulta ; cosß=√(1-(sinß)^2)=√(1-(√(1-x))^2)=√(1-1+x)=√x. inlocuind avem; cos(α+ß)=√(1-x).√x-√x.√(1-x)=0 In acest caz , tinand seama de codoneniile functiilor ”arcsin” si ”arccos”->α+ß=(pi)/2
Am veşti proaste pentru tine, grapefruit, dar şi o veste bună.
Din nou scrii ceva şi te aştepţi ca cel ce te citeşte să înţeleagă că tu ai vrut să spui altceva.
Citez: in acest interval functia sinus ia doar val 1?? Ai vrut să spui: în acest interval funcţia sinus ia valoarea 1 doar în pi/2.
Citez: functia arcsin este bijectiva si este def pe -pi/2 ,pi/2. Ai vrut să spui: arcsin ia valori în [-pi/2; pi/2].
Şi logica ta lasă de dorit. Spui că nu este nevoie să precizezi că membrul I ia valori în intervalul [0; pi]; iar argumentul final
pentru asta este că arsina+arcsin b are cel mult valoarea pi! Păi nu-i acelaşi lucru?
Dacă obţii că sinusul expresiei din stânga este 1, concluzia corectă este că această expresie ia una dintre valorile
pi/2+2k pi, k întreg arbitrar. Tocmai faptul că dintre aceste valori numai pi/2 aparţine intervalului [0; pi] demonstrează rezultatul.
Şi eu aş fi aplicat funcţia cosinus egalităţii. De ce? Pentru că funcţia cos este injectivă pe [0; pi] şi din cosI=cosII => I=II.
Vestea bună este că foarte repede vei învăţa să calculezi derivate, vei afla că derivata funcţiei din membrul I este 0 pe
tot intervalul şi că asta înseamnă că funcţia este constantă pe [0; 1]. Valoarea constantei se află dând lui x o valoare
convenabilă; de ex. f(0)=arcsin0+arcsin1= 0+pi/2=pi/2.
Cu bine, ghioknt.
Multumesc pentru explicatie si pentru spiritul crititic pe care il aveti si totodata il apreciez.O singura intrebare mai am,daca am am compus expresia din membrul stang cu sinus si am obtinut 1 nu inseamna ca expresia ia valori de forma (-1)^k *pi/2 +kpi (dumneavoastra ati zis pi/2+2kpi); unde gresesc?(nu este o ecuatie de forma sin a=1)?
Nu greşeşti nicăieri. Atâta doar că cele 2 mulţimi de soluţii sunt egale. Dă valori lui k şi într-o formulă şi în cealaltă şi convinge-te.
Numai că în formula ta fiecare soluţie particulară este obţinută pentru 2 valori ale lui k. Bănuiesc că profesorul la clasă nu a
insistat suficient pe următorul aspect: pentru a în (-1; 1), există în intervalul [-pi/2; 3pi/2) de lungime 2pi, 2 soluţii ale ecuaţiei
sinx=a, arcsina şi pi-arcsina, pe cînd pentru sinx=1, doar x=pi/2 şi pentru sinx=-1, doar x=-pi/2.
Periodicitatea transformă cele 2 soluţii ale ecuaţiei sinx=a în 2 mulţimi ce trebuie reunite şi care dau rezultatul cunoscut:
{arcsina+2kpi}U{-arcsina+(2k+1)pi}={(-1)^n+npi}.
Cu bine, ghioknt.
Daca exercitiu ar fi suna in felul urmator
![\arcsin{\sqrt{x}}+\arcsin{\sqrt{1-x}}=\frac{\5pi}{2},\forall x\in [0,1]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbee5d037c2722af32769b8acf246c75_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
; am voie sa trag conluzia ca valoare de adevar a acestei expresii este falsa pe considerentul ca membrul drept apartine intervalului [0,pi] iar membrul drept este 5pi/2 care nu apartine intervalului mentionat.(adica sa nu ma mai sinchisesc sa compun cu vreo functie).
Corect