Home/ Intrebari/Q 83279
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

classius
Pe: 2013-10-09T19:07:16+03:00 In: In:

Monotonie si marginire

Sa se studieze monotonia si marginirea sirului:

13^{a_{n+2}}=12^{a_{n+1}}+5^{a_{n}} cu a_{1}=0 si a_{2}=1.

Multumesc.

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Să calculăm şi a_3, a_4 pentru a investiga monotonia.
    \[ 13^{a_3 } = 12^{a_2 } + 5^{a_1 } = 12^1 + 5^0 = 13 \Rightarrow a_3 = 1;\quad 13^{a_4 } = 12^1 + 5^1 = 17 \Rightarrow a_4 = \log _{13} 17]
    Consider propoziţiile: \[ P\left( n \right)] P(1) si P(2) sunt adevărate.
    Consider k>=2 pentru care P(k-1) si P(k) sunt adevărate;

        \[ \begin{array}{l} P\left( {k - 1} \right) \Rightarrow a_{k - 1} \le a_k \Rightarrow 5^{a_{k - 1} } \le 5^{a_k } ,\quad iar\;P\left( k \right) \Rightarrow a_k \le a_{k + 1} \Rightarrow 12^{a_k } \le 12^{a_{k + 1} } \\ In\;concluzie\quad 12^{a_k } + 5^{a_{k - 1} } \le 12^{a_{k + 1} } + 5^{a_k } \Rightarrow 13^{a_{k + 1} } \le 13^{a_{k + 2} } \Rightarrow a_{k + 1} \le a_{k + 2} \\ \end{array} \]

    .
    Deci P(k+1) este adevarată dacă P(k) si P(k-1) sunt adevărate, oricare ar fi k>=2; cum P(1) şi P(2) sunt adevărate, deducem
    că P(n) sunt adevărate, oricare ar fi n>=1, adică şirul este monoton crescător.
    Consider acum P(n): a_n<2. P(1) si P(2) sunt evident adevarăte; acelaşi raţionament aplicat la următoarele calcule.

        \[ \begin{array}{l} P\left( {k - 1} \right) \Rightarrow a_{k - 1} < 2 \Rightarrow 5^{a_{k - 1} } < 5^2 ,\quad P\left( k \right) \Rightarrow a_k < 2 \Rightarrow 12^{a_k } < 12^2 \\ Deducem\quad 12^{a_k } + 5^{a_{k - 1} } < 169 \Rightarrow 13^{a_{k + 1} } < 13^2 \Rightarrow a_{k + 1} < 2 \\ \end{array} \]

    etc.
    În concluzie şirul este crescător şi mărginit superior de 2.

    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde