Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Daca numerele z1,z2,z3 de modul 1 a.i. z1+z2+z3=0 atunci argumentele celor 3 sunt de forma a, a+2pi/3, a+4pi/3?
Se aplica asta si in caz general? Adica pentru n numere z de modul 1 cu suma 0, avem argumente de forma a, a+2pi/n, a+4pi/n, etc?
Prima afirmatie este adevarata, a doua nu.
Numerele sunt de modul 1, asadar se gasesc pe cercul cu centrul in originea O a planului complex si de raza 1. Suma celor 3 numere este 0. Se demonstreaza ca aceste doua conditii sunt suficiente pentru a deduce ca Triunghiul cu varfurile de afixe z1, z2, z3 este echilateral. Ce inseamna asta? Ca fiecare punct se obtine printr-o rotatie de 120 de grade in sens trigonometric a primului. Daca z1 are argument a, atunci celelalte vor fi a+120 si a+240, ceea ce in radiani inseamna exact ce spui si tu. (Daca ai un triunghi ABC echilateral si O centrul cercului circumscris – sau doar centrul triunghiului, atunci unghiurile AOB,BOC,AOC au 120 de grade, deci iti poti imagina ca C si B se obtine printr-o rotatie in jurul lui O a punctului A).
A doua afirmatie este…”prea generala”.
Ia de exemplu pe cercul unitate cu centrul in originea planului complex patru puncte-varfuri de dreptunghi. Suma vectoriala OA+OB+OC+OD=0 (deci si z1+z2+z3+z4=0), au acelasi modul (1 ca se afla pe cercul unitate), dar nu este neaparat ca unghiurile AOB,BOC,COD si DOA sa fie toate egale, incat sa se intample cu rotatia ce se intampla in cazul n=3).
Ceva mai ingrijit spus, cele doua conditii nu mai sunt suficiente pentru a deduce ca poligonul descris este REGULAT (patrat, hexagon regulat etc.). Pentru n mai mare decat 3, trebuie sa mai adaugi o conditie. Spre exemplu, |z1-z2|=|z2-z3|=….=|z4-z1|, care este echivalent cu a zice ca laturile poligonului sunt congruente (egale ca lungime). Cele doua conditii, impreuna cu asta, iti asigura ca acel poligon este regulat si ca se intampla ce spui tu in generalizarea aceea.
Pentru nelamuriri, posteaza tot aici.
Intrebarile mele au plecat de la exercitiul:
Fie zk=r[cos(a+(k-1)b)+isin(a+(k-1)b)], k=1,2…,n. Sa se gaseasca conditiile in care avem: z1+z2+…+zn=0.
Rezolvarea propusa de autorii culegerii ajunge la b=2kpi/n. Si se explica ca, in acest caz, imaginile celor n numere sunt varfurile unui poligon regulat cu n laturi incris in cercul de centru in origine si raza r (modulul nr), in sensul direct sau contrar, poligonul fiind convex sau stelat.
Problemele precedente prezinta cazurile n=3 si n=4.
Modulul 1 nu este specificat aici, dar la problema 2 de la OLM 2013 Bucuresti se specifica in barem urmatorul enunt: suma a 3 numere complexe de modul 1 este nula daca argumentele lor sunt de forma a, a+2pi/3, a+4pi/3.
Mi-ati putea demonstra va rog ca, daca z1+z2+z3=0 si modulele celor 3 sunt egale cu 1, atunci imaginile lor formeaza un triunghi echilateral?
relatiile lui VièteDeny95
Fie zk=r[cos(a+(k-1)b)+isin(a+(k-1)b)], k=1,2…,n. Sa se gaseasca conditiile in care avem: z1+z2+…+zn=0.
1. Ai inteles rezolvarea de la exercitiul asta? Sau vrei sa-ti scriu rezolvarea!
2. Se pare ca generalizarea functioneaza ptr orice n>2. La chestia asta vrei demonstratie?
1.Am inteles rezolvarea exercitiului.
2.Desigur ca vreau sa vad revolvarea pe care o propui, daca spui ca iti iese.
2. Deci avem asha:
Avem modulele egale deci e poligon regulat!
Mi se pare mie sau tu vrei pe caz general nestiind forma zk-ului?
Mersi. Asa e, ai dreptate, asta am vrut.
La OLM Bucuresti 2013, s-a dat o problema interesanta pe complexe. În baremul lor era propozitia: Argumentele a 3 numere complexe de modul 1 cu suma 0 sunt de forma a, a+2pi/3, a+4pi/3, fara sa se specifice forma lor. Iar problema de mai sus mi-a dat de gandit ca poate asta se intampla si in caz general.
Pf… am inteles altceva atunci. N-ai ptr ce… chestia aia nu e valabila daca nu stii forma zk-ului ptr n>3. Nu te laudai tu ca vrei sa-mi pui capac cu o problema de la OLM?🙂 ) glumesc nu ma lua in seama!