Home/ Intrebari/Q 80592
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

pepemarcel
Pe: 2013-02-22T11:16:30+02:00 In: In:

Egalitate

Rezolvati in R :

x^2 + 6x + 4 = 4 * √(x+5)

Am aflat doar ca exista o singura solutie. Mai mult nu stiu.
Am nevoie de niste sfaturi :d

Similare

4 raspunsuri

  1. gixgex

        \[ \begin{array}{l} 4\sqrt {x + 5} = x^2 + 6x + 4 \\ 16(x + 5) = (x^2 + 6x + 4)^2 \\ 16x + 80 = x^4 + 12x^3 + 44x2 + 48x + 16 \\ - x^4 - 12x^3 - 44x^2 - 32x + 64 = 0 \\ (x + 4)^2 (x^2 + 4x - 4) = 0 \\ \end{array} \]

  2. bedrix
    expert (VI)

    x^2 + 6x + 4 = 4 * √(x+5) (1)
    O varianta ar fi reprezentarea grafica a functiilor f(x)=x^2 + 6x + 4
    respectiv g(x)= 4 * √(x+5) de unde rezulta un singur punct de intersectie Graf(f) cu Graf(g)= (xo,yo) iar 0<xo<1 este solutie unica a ecuatiei (1).

  4. gunty
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} x^2 + 6x + 4 = 4\sqrt {x + 5} ;x \ge - 5 \\ \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) + x + 5 - 1 = 4\sqrt {x + 5} \\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) - 1 = 4\sqrt {x + 5} \\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x + 5 - 4} \right) - 1 = 4\sqrt {x + 5} \\ \end{array} \]

    Fie

        \[ t = \sqrt {x + 5} ,t \ge 0 \]

    . Egalitatea devine:

        \[ \begin{array}{l} t^2 \left( {t^2 - 4} \right) - 1 = 4t \\ \Leftrightarrow t^4 - 4t^2 - 1 - 4t = 0 \\ \Leftrightarrow t^4 - 1 - 4t\left( {t + 1} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {t^2 + 1} \right) - 4t\left( {t + 1} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left[ {\left( {t - 1} \right)\left( {t^2 + 1} \right) - 4t} \right] = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t^3 - t^2 - 3t - 1} \right) = 0 \\ \end{array} \]

    De aici sunt doua cazuri:
    1.: t+1=0 <=> t=-1<0. Deoarece in acest caz t<0, inseamna ca t=-1 NU este solutie.
    2.:

        \[ \begin{array}{l} t^3 - t^2 - 3t - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow t^3 - t - \left( {t^2 + 2t + 1} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow t\left( {t^2 - 1} \right) - \left( {t + 1} \right)^2 = 0 \\ \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right) - \left( {t + 1} \right)^2 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left[ {t\left( {t - 1} \right) - \left( {t + 1} \right)} \right] = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t^2 - 2t - 1} \right) = 0 \\ \end{array} \]

    Si acest caz se poate trata in doua cazuri (daca t+1=0 sau t^2-2t-1=0), dar cazul t+1=0 am luat-o deja mai inainte, si am primit ca nu exista solutie. Asadar ramane

        \[ t^2 - 2t - 1 = 0 \]

    . Se rezolva aceasta egalitate de gradul 2, si primim solutiile

        \[ 1 \pm \sqrt 2 \]

    . Deoarece

        \[ t = 1 - \sqrt 2 < 0 \]

    , inseamna ca ramane doar cazul in care

        \[ t = 1 + \sqrt 2 \]

    .

        \[ \left. \begin{array}{l} t = 1 + \sqrt 2 \\ t = \sqrt {x + 5} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow 1 + \sqrt 2 = \sqrt {x + 5} \Leftrightarrow 3 + 2\sqrt 2 = x + 5 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 - 2 \]

    . Poti sa faci o verificare, inlocuind x-ul primit in „egalitatea originala”, si iti iese ca e ok.

    In concluzie, solutia egalitatii este

        \[ x = 2\sqrt 2 - 2 \]

    .

  5. pepemarcel

    Va multumesc mult !
    O sa analizez rezolvarile :d

Raspunde

Raspunde