Home/ Intrebari/Q 79509
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dennis9091
guru (IV)
Pe: 2012-12-13T12:53:29+02:00 In: In:

N

Aflati numerele reale x si y astfel incat:
8x^2+y^2-4xy+8x-2y+2=0.
(PS. am incercat sa fac (a+b+c)^2 , dar nu mi’a iesit )

Similare

3 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} 8x^2 - 4xy + y^2 + 8x - 2y + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)^2 + 4x^2 + 2\left( {2x - y} \right) + 4x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right) + 4x^2 + 4x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right) + \left( {2x + 1} \right)^2 + 1 = 0 \\ \end{array} \]

    1. Daca

        \[ 2x - y > 0 \]

    :

        \[ \Rightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right) > 0 \]

    Deoarece

        \[ \left( {2x + 1} \right)^2 + 1 \ge 1 \]

    , urmeaza ca nu exista solutii pe acest interval, deoarece egalitatea va fi >1, adica n-are cum sa fie =0.

    2. Daca

        \[ 2x - y < 2 \]

    :

        \[ \Rightarrow 2x - y + 2 < 0 \Rightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right) > 0 \]

    Aceeasi chestie ce e si mai sus, adica nu exista solutii.

    3. Daca

        \[ 2x - y \in [ - 2;0] \]

    Fie

        \[ n = 2x - y;n \in [ - 2;0] \]

    Rezolvam inegalitatea

        \[ n\left( {n + 2} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow n^2 + 2n + 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right)^2 \ge 0 \]

    Deci valoarea minima a lui

        \[ n\left( {n + 2} \right);n \in [ - 2;0] \]

    este -1. Adica

        \[ \min \left( {\left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right)} \right) = - 1 \]

    .
    Deoarece

        \[ \left( {2x + 1} \right)^2 + 1 \ge 1 \]

    , inseamna ca

        \[ \left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right) \]

    trebuie sa aiba valoarea minima si de asemenea

        \[ \left( {2x + 1} \right)^2 + 1 = 1 \]

    .
    Din

        \[ \left( {2x + 1} \right)^2 + 1 = 1 \]

    iese ca x=-1/2, iar din

        \[ \left( {2x - y} \right)\left( {2x - y + 2} \right) = - 1 \]

    iese ca y=0.

    In concluzie, singura solutie a egalitatii este perechea: x=-1/2;y=0.

    *Consider ca rezolvarea de mai jos e mai simpla, insa dupa cum se vede, ambele sunt corecte.

  2. bedrix
    expert (VI)

    8x^2+y^2-4xy+8x-2y+2=0
    8x^2+y^2-4xy+8x-2y+2=y^2-4xy-2y +8x^2+8x+2=y^2-2y(2x+1) +2(4x^2+4x+1)= y^2-2y(2x+1) +2(2x+1)^2= y^2-2y(2x+1) +(2x+1)^2 +(2x+1)^2=(2x+1-y)^2 +(2x+1)^2=0 rezulta 2x+1-y=0 si 2x+1=0 rezulta x=-1/2 si y=0

  4. dennis9091
    guru (IV)

    Daca inmultesc toata relatia cu 2 am:.. (4x-y+2)^2+y^2=0 .. care conduce la aceleasi solutii.

Raspunde

Raspunde