Home/ Intrebari/Q 79300
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Laur
Pe: 2012-12-01T12:36:02+02:00 In: In:

Convergenta- Proprietatea lui Weierstrass

Sa se studieze convergenta sirurilor:

    \[\begin{array}{l} a){a_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ...\frac{1}{{n + n}};\\ b){a_{n = }}\frac{1}{{1 \times {2^2}}} + \frac{1}{{2 \times {3^2}}} + .. + \frac{1}{{n \times {{(n + 1)}^2}}};\\ c){a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n ; \end{array}\]

Multumesc anticipat!

Similare

5 raspunsuri

  1. sandy_sc
    maestru (V)

    Ex 1 atasament
    Ex3
    Consideri termenul general ca o fractie cu numitorul 1 si o amplifici cu conjugara numaratorului si obtii
    \frac{1}{[tex]\sqrt(n+1)+sqrt(n)} fractie care tinde la 0

  2. ali
    maestru (V)

    Exercitiul 1) rezolvarea folosind „ideea” Weierstrass:
    Mărginire:
    \begin{array}{l} {a_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \cdots + \frac{1}{{2n}}\\ {\rm{Plecam de la faptul ca}}:n + k > n + 1,\,\,k \ge 2,n \in N \Rightarrow \frac{1}{{n + k}} < \frac{1}{{n + 1}}\\ {\rm{Luam}}{\rm{, in continuare}}{\rm{, }}n = 2,3,...,n\,\left( {{\rm{adica chiar suma}}} \right) \Rightarrow \\ \frac{1}{{n + 1}} + \cdots + \frac{1}{{2n}} < \underbrace {\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 1}} + \cdots + \frac{1}{{n + 1}}}_{n - ori} = \frac{n}{{n + 1}} < 1,\,\,n \in N \Rightarrow {a_n} = {\rm{marginit superior}}{\rm{.}} \end{array}
    Monotonie:
    Vom calcula valoarea expresiei a_(n+1)-a_n:
    \begin{array}{l} {a_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 2}} + \cdots + \frac{1}{{2n + 2}}\\ {a_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \cdots + \frac{1}{{2n}}\\ {a_{n + 1}} - {a_n} = \frac{1}{{n + 2}} + \cdots + \frac{1}{{2n + 2}} - \left( {\frac{1}{{n + 1}} + \cdots + \frac{1}{{2n}}} \right)\\ = \frac{1}{{2n + 1}} + \frac{1}{{2n + 2}} - \frac{1}{{n + 1}} = ... = \frac{1}{{\left( {2n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0,\,\forall n \in N \end{array}
    Deci in conformitate cu cele spuse de Weierstrass … a_n=convergent

  4. ali
    maestru (V)

    Exercitiul 1) rezolvarea folosind „ideea” Weierstrass:
    Mărginire:
    \begin{array}{l} {\left( {k + 1} \right)^2} > k + 1,\,k \in {N^*} \Rightarrow k{\left( {k + 1} \right)^2} > k\left( {k + 1} \right) \Rightarrow \frac{1}{{k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} < \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}\\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} < \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} = ... = \frac{n}{{n + 1}} < 1 \end{array}
    Monotonie:
    Calculam {b_{n + 1}} - {b_n} … foarte simplu….
    In concluzie … sirul este convergent

  5. ali
    maestru (V)

    c)
    \begin{array}{l} {c_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \\ 0 \le \sqrt k \le k \Rightarrow 0 \le \sqrt {n + 1} - \sqrt n \le n + 1 - n = 1\\ {c_{n + 1}} - {c_n} = \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} - \sqrt {n + 1} + \sqrt n = \sqrt {n + 2} + \sqrt n - 2\sqrt {n + 1} < 0,\,n \in N \end{array}
    => conform W => sirul converge !

    Solutia nu este prezentata 100% … trebuie demonstrate unele mici afirmatii….

  6. Laur

    Sunteti extraordinari! Va multumesc!

Raspunde

Raspunde