Home/ Intrebari/Q 78154
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

diamondminer
Pe: 2012-10-01T07:20:18+03:00 In: In:

Numere prime

    \[\begin{array}{l} {\rm{Fie }}n \ge 2{\rm{ un numar natural}}{\rm{. Aratati ca numarul }}{n^4} + {n^2} + 3{\rm{ nu poate fi scris ca suma a doua numere prime}}{\rm{.}}\\ {\rm{ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - }}\\ {\rm{Presupunem ca N = }}{n^4} + {n^2} + 3{\rm{ poate fi scris ca o suma de numere prime}}\\ {\rm{Suma a doua numere prime poate fi in cele mai multe cazuri un numar par sau un numar impar daca unul dintre cele doua numere este 2}}{\rm{. (1)}}\\ N = {n^4} + {n^2} + 3 \Leftrightarrow N = {n^2}({n^2} + 1) + 3\\ \left. \begin{array}{l} {\rm{Pt }}n{\rm{ = par}}\\ N = \underbrace {{n^2}}_{par}\underbrace {({n^2} + 1)}_{impar} + \underbrace 3_{impar} \Rightarrow N = impar\\ {\rm{Pt }}n{\rm{ = impar}}\\ N = \underbrace {{n^2}}_{impar}\underbrace {({n^2} + 1)}_{par} + \underbrace 3_{impar} \Rightarrow N = impar \end{array} \right\}(2)\\ {\rm{Din (1) si (2) rezulta ca pentru a avea o suma de numere prime unul dintre cele doua numere ar trebui sa fie 2}}{\rm{.}}\\ {\rm{ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - }}\\ {\rm{Se stie ca un patrat perfect este de forma }}{n^2} = 3m{\rm{ sau }}{n^2} = 3m + 1\\ N = {n^2}({n^2} + 1) + 3\left\{ \begin{array}{l} \Rightarrow N = 3m(3m + 1 + 1) + 3\\ \Rightarrow N = (3m + 1)(3m + 1) + 3 \end{array} \right.\\ \\ {\rm{De aici ma poate ajuta cineva????}}\\ \end{array}\]

Similare

4 raspunsuri

  1. diamondminer

    Oare am gasit raspunsul corect????!!!!
    Imi poate confirma cineva?

        \[\begin{array}{l} N = {n^2}({n^2} + 1) + 3\\ {\rm{ Ca N sa fie o suma de numere prime ar trebui ca unul dintre cele doua numere prime sa fie 2, }}\\ {\rm{deci }}N = \underbrace {{n^2}({n^2} + 1) + 1}_{{\rm{nr}}{\rm{. prim}}} + 2\\ {\rm{Orice patrat poate fi de forma }}{{\rm{n}}^2} = 2m{\rm{ sau }}{{\rm{n}}^2} = 2m + 1\\ {\rm{Pt }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2m + 1}}\\ N = \underbrace {{n^2}({n^2} + 1) + 1}_{{\rm{nr}}{\rm{. prim}}} + 2 \Rightarrow \underbrace {{n^2}({n^2} + 1) + 1}_{{\rm{nr}}{\rm{. prim}}} \Leftrightarrow \underbrace {(2m + 1)*(2m + 2)}_{{\rm{produs de nr consecutive = nr impar}}} + 1 \Rightarrow impar + impar = par \Rightarrow {\rm{NU e solutie}}\\ {\rm{Pt }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2m}}\\ N = \underbrace {{n^2}({n^2} + 1) + 1}_{{\rm{nr}}{\rm{. prim}}} + 2 \Rightarrow \underbrace {{n^2}({n^2} + 1) + 1}_{{\rm{nr}}{\rm{. prim}}} \Leftrightarrow \underbrace {(2m)*(2m + 1)}_{{\rm{produs de nr consecutive = nr impar}}} + 1 \Rightarrow impar + impar = par \Rightarrow {\rm{NU e solutie}}\\ {\rm{Deci 2 nu se afla printre cele doua numere ale sumei de numere prime}}{\rm{.}}\\ {\rm{Rezulta ca }}N = {n^4} + {n^2} + 3{\rm{ nu poate fi scris ca o suma de doua numere prime}}{\rm{.}} \end{array}\]

    Este exclusa si varianta in care cele doua numere prime ar fi a=2 si b=2 prin simpla efectare a calculului.

  2. Integrator
    maestru (V)

    Se observa foarte usor ca pentru orice fel de numar natural numarul N=n^4+n^2+3 este un numar impar si deci rezulta ca N=n^4+n^2+3=2+p unde p presupunem ca este un numar prim.Putem scrie deci ca n^4+n^2+1=p care se mai scrie n^4+2 \cdot n^2+1-n^2=p sau inca (n^2+1)^2-n^2=p si in final rezulta ca (n^2+1-n) \cdot (n^2+1+n)=p de unde se observa ca doar pentru n=1 rezulta ca p este numar prim iar pentru n \geq 2 rezulta ca p este un numar compus adica nu este numar prim.

  4. diamondminer

    Integrator wrote: Se observa foarte usor ca pentru orice fel de numar natural numarul N=n^4+n^2+3 este un numar impar si deci rezulta ca N=n^4+n^2+3=2+p unde p presupunem ca este un numar prim.Putem scrie deci ca n^4+n^2+1=p care se mai scrie n^4+2 \cdot n^2+1-n^2=p sau inca (n^2+1)^2-n^2=p si in final rezulta ca (n^2+1-n) \cdot (n^2+1+n)=p de unde se observa ca doar pentru n=1 rezulta ca p este numar prim iar pentru n \geq 2 rezulta ca p este un numar compus adica nu este numar prim.

        \[\begin{array}{l} {\rm{Nu am auzit de aceasta formula }}{({a^2} + {b^2})^2} - {c^2} = ({a^2} + {b^2} - c)({a^2} + {b^2} + c){\rm{ pe care ati folosit - o}}\\ {\rm{pt a demonstra ca p este un numar compus, dar am selectat - o pt caietul meu de teorie}}{\rm{.}}\\ {\rm{Multumesc}}{\rm{.}} \end{array}\]

  5. Integrator
    maestru (V)

    Se cunoaste ca diferenta patratelor a doua numere este egal cu produsul sumei si diferentei acelor numere adica se cunoaste ca a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)?Daca se cunoaste acest lucru atunci este foarte simplu de aplicat si in cazul (a^2+b^2)^2-c^2 caci daca se noteaza a^2+b^2=u atunci (a^2+b^2)^2-c^2=u^2-c^2=(u+c) \cdot (u-c)=(a^2+b^2+c) \cdot (a^2+b^2-c).

Raspunde

Raspunde