Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Am urmatoarea problema:
Se considera matricea
![\[ A = \left( {\begin{array} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}} \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab68941a2c7ce59f58e9fabce866de6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sa se calculeze
![\[ \sum\limits_{k = 1}^n {A^k } \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee3256d90963363f7a141e6a9eeea70a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
Rezolvarea mea:
unde
![\[ B = \left( {\begin{array} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3171b68803e54db39246bab696d170f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Avem:
![\[ \begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {A^k = A^1 + A^2 + ... + A^n = I_3 + B + \left( {I_3 + B} \right)^2 + \left( {I_3 + B} \right)^3 + ... + \left( {I_3 + B} \right)^n } \\ \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2051e4fb56b8d4631887104181111429_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{array}{l} B^2 = B \cdot B = \left( {\begin{array} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}} \right) \\ B^3 = B^2 \cdot B = O_3 \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38ed6b190defb32e345bc8c36fa66cb1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Deci pentru
![\[ \forall \,n \ge 3,\,B^n = O_3 \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5edf17a85b4924b9bcbc189f42d7fe0a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Deci aplicand formula binomului lui Newton pentru fiecare paranteza o sa obtinem:
![\[ \sum\limits_{k = 1}^n {A^k } = I_3 + B + \left( {n - 1} \right)\left( {I_3 + C_n^1 I_3^{n - 1} B + C_n^2 I_3^{n - 2} B^2 } \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e80fe8a801292f58e3517bbeab48321b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
As vrea daca se poate sa imi spuneti daca este in regula pana aici. Nu pot merge mai departe cu calculul in clipa asta din motive de timp.
Multumesc.
A^k=(I3+B)^k=I3+k.B+k(k-1)/2.B^2 .
Suma (de k de la 1 la n)=n.I3+(1+2+3+…+n).B+[(1^2+2^2+3^2+… +n^2)-(1+2+3+….+n)]/2.B^2=n.I3+(n.(n+1)/2).B+[n.(n+1).(2.n+1)/6-n(n+1)/2].B^2. Cred ca este mai normal asa . Cu respect DD