1.Sa se gaseasca, in fiecare caz, toate matricile care comuta cu matricea A:
2.Sa se arate, folosind metoda ecuatiei caracteristice pt matricea de ordinul 2 ca:
.
Sa se verifice rezultatul folosind metoda inductiei matematice si functii trigonometrice.
La 2 cred ca merge direct pe teorie care zice asa:
Fie
solutiile ecuatiei:
.
Atunci
.
Am uitat sa precizez: poti lua ca considerente faptul ca ecuatia data ar trebui sa admita solutii complexe, deci delta sa fie negativ, si trebuie sa iei forma trigonometrica a acestora pentru a ajunge la forma din enunt.
Eu asa am facut:
Insa de aici, nu pot sa deduc cum se procedeaza mai departe pt a gasi o forma mai frumoasa pt x_n😕 …Stiti dv cumva??
De aici lucrurile se cam complica. Vezi ca tu ai luat formula gresit. La numarator era
. Deci ultima forma (doar paranteza dreapta) impartita la 2i trebuie sa dea
.
In orice caz, sunt sigur ca exista o metoda mult mai fina de rezolvare a acestui exercitiu, nu complicatiile astea in care m-am bagat eu.
Hmmm…mi se pare o rezolvare destul de interesanta si in acelasi timp, putin dificila , d-le @xor_NTG. Am impresia ca se poate ajunge ”la dureri de cap” la cate calcule trebuie facute in aceasta rezolvare a dumneavoastra.🙂
Rezolvarea la care m-am gandit eu:
Fie:
.
Domnule andu_flavius95, va apreciez pentru inventivitate si pentru initiativa de a ma „scoate” din aceasta incurcatura in care am intrat in acest exercitiu. Va spun sincer ca si eu m-as fi gandit la aceasta rezolvare daca enuntul problemei era altfel, dar el este: „2.Sa se arate, folosind metoda ecuatiei caracteristice pt matricea de ordinul 2 ca:”…. Deci trebuie folosita metoda ecuatiei caracteristice (sau Teorema Hamilton – Cayley, asta e motivul pentru care m-am tot „inundat” in acele calcule.
Ceea ce ati facut dumneavoastra este partea a 2-a a problemei, adica:
„Sa se verifice rezultatul folosind metoda inductiei matematice si functii trigonometrice.” Ei bine, in aceste conditii, any ideas?
Stiu😉 )..macar 50% din problema este rezolvata. Am vazut ca trebuie folosita si teorema Cayley-Hamilton..dar la fel si eu m-am ”inundat” in calcule. E nevoie de multa rabdare si ceva ”artificii” bune 😆
Da, 50% din problema, adica jumatate din punctaj la un eventual test.😀 fiindca acum trebuie sa plec la masa si s-ar putea sa ma ocup cu alte lucruri. Cheers!
Daca observi, in calculul meu, se poate verifica daca elementele diagonalei secundare ale matricei sunt cele care ar trebui, prin aplicarea formulei de transformare a sumelor in produs, pentru ca primul termen al formulei Hamilton Cayley, factorul care multiplica matricea are valoarea care va ramane pe diagonala secundara, caci al doilea termen este inmultit cu matricea identica, care are 0 pe diagonala secundara. Am expus ideea pentru a nu o uita
Pai si eu am inceput studiul algebrei liniare acum vreo 3 saptamani. De fapt, am inceput studiul de la matrici in colo pentru ca permutarile le acoperisem din martie. Mai am un pic si termin partea asta. Abia astept sa intru la analiza.