Home/ Intrebari/Q 77398
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei_g
Pe: 2012-06-28T17:14:18+03:00 In: In:

matrice ;

1.Sa se gaseasca, in fiecare caz, toate matricile care comuta cu matricea A:

    \[ a).\;A = \left( {\begin{array} 0 & 1 \\ { - 1} & 2 \\ \end{array}} \right)\quad ;\;b).A = \left( {\begin{array} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end{array}} \right) \]

2.Sa se arate, folosind metoda ecuatiei caracteristice pt matricea de ordinul 2 ca:

    \[ \left( {\begin{array} 1 & 1 \\ { - 1} & 1 \\ \end{array}} \right)^n = \left( {\sqrt 2 } \right)^n \cdot \left( {\begin{array} {\cos \frac{{n\pi }}{4}} & {\sin \frac{{n\pi }}{4}} \\ { - \sin \frac{{n\pi }}{4}} & {\cos \frac{{n\pi }}{4}} \\ \end{array}} \right) \]

.

Sa se verifice rezultatul folosind metoda inductiei matematice si functii trigonometrice.

Similare

11 raspunsuri

  1. xor_NTG
    maestru (V)

    La 2 cred ca merge direct pe teorie care zice asa:
    Fie

        \[ A = \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right) \in M_2 \left( C \right)\,\,si\,\,\lambda _1 ,\lambda _2 \in C\, \]

    solutiile ecuatiei:

        \[ x^2 - \left( {a + d} \right)x + ad - bc = 0 \]

    .
    Atunci

        \[ A^n = \frac{{\lambda _2^n - \lambda _1^n }}{{\lambda _2 - \lambda _1 }}A + \frac{{\lambda _2 \lambda _1^n - \lambda _1 \lambda _2^n }}{{\lambda _2 - \lambda _1 }}I_2 \]

    .

  2. xor_NTG
    maestru (V)

    Am uitat sa precizez: poti lua ca considerente faptul ca ecuatia data ar trebui sa admita solutii complexe, deci delta sa fie negativ, si trebuie sa iei forma trigonometrica a acestora pentru a ajunge la forma din enunt.

  4. andrei_g

    Eu asa am facut:

        \[ \begin{array}{l} A = \left( {\begin{array} 1 & 1 \\ { - 1} & 1 \\ \end{array}} \right) \\ Tr\;A = 2\;si\;\det A = 2 \Rightarrow \lambda ^2 - 2\lambda + 2 = 0 \Rightarrow \lambda _1 = 1 + i\quad si\;i_2 = 1 - i \\ \Rightarrow x_n = \frac{{\lambda _1^n - \lambda _2^n }}{{\lambda _1 - \lambda _2 }} = ^{dupa\;scrierea\;trigonometrica\;si\;calcule} = \left( {\sqrt 2 } \right)^n \cdot \frac{{\sin \frac{{3n\pi }}{4}\left( {\sin n\pi - i \cdot \sin n\pi } \right)}}{{\cos \frac{\pi }{2} + i \cdot \sin \frac{\pi }{2}}} \\ \end{array} \]

    Insa de aici, nu pot sa deduc cum se procedeaza mai departe pt a gasi o forma mai frumoasa pt x_n 😕…Stiti dv cumva??

  5. xor_NTG
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} x^2 - 2x + 2 = 0 \\ \Delta = - 4 \\ \lambda _{1,2} = \frac{{2 \pm i2}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda _1 = 1 - i \\ \lambda _2 = 1 + i \\ \end{array} \right. \\ \left| {\lambda _1 } \right| = \sqrt 2 = \left| {\lambda _2 } \right| \\ \cos \varphi _1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\sin \varphi _1 = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 2\pi - \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{4} \\ \cos \varphi _2 = \sin \varphi _2 = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{4} \\ \lambda _1 = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{7\pi }}{4} + i\sin \frac{{7\pi }}{4}} \right) \\ \lambda _2 = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\ \\ \frac{{\lambda _2^n - \lambda _1^n }}{{\lambda _2 - \lambda _1 }} = \frac{{\left( {\sqrt 2 } \right)^n \left( {\cos \frac{{n\pi }}{4} + i\sin \frac{{n\pi }}{4}} \right) - \left( {\sqrt 2 } \right)^n \left( {\cos \frac{{n7\pi }}{4} + i\sin \frac{{n7\pi }}{4}} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 } \right)\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4} - \left( {\cos \frac{{7\pi }}{4} + i\sin 7\frac{\pi }{4}} \right)} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt 2 } \right)^n \left[ {\left( {\cos \frac{{n\pi }}{4} + i\sin \frac{{n\pi }}{4}} \right) - \left( {\cos \frac{{n7\pi }}{4} + i\sin \frac{{n7\pi }}{4}} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt 2 } \right)\left[ {\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{{7\pi }}{4} + i\left( {\sin \frac{\pi }{4} - \sin \frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right]}} \\ \frac{{\lambda _2 \lambda _1^n - \lambda _1 \lambda _2^n }}{{\lambda _2 - \lambda _1 }} = \frac{{\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\left[ {\left( {\sqrt 2 } \right)^n \left( {\cos \frac{{n7\pi }}{4} + i\sin \frac{{n7\pi }}{4}} \right)} \right] - \left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{7\pi }}{4} + i\sin \frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right]\left[ {\left( {\sqrt 2 } \right)^n \left( {\cos \frac{{n\pi }}{4} + i\sin \frac{{n\pi }}{4}} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt 2 } \right)\left[ {\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{{7\pi }}{4} + i\left( {\sin \frac{\pi }{4} - \sin \frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right]}} \\ \left. \begin{array}{l} \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{{7\pi }}{4} = - 2\sin \frac{{2\pi }}{2}\sin \frac{{ - \frac{{3\pi }}{2}}}{2} = - 2\sin \frac{{2\pi }}{2}\sin \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = 2\sin \pi \sin \frac{{3\pi }}{4} = 0 \\ \left( {\sin \frac{\pi }{4} - \sin \frac{{7\pi }}{4}} \right) = 2\sin \frac{{ - \frac{{3\pi }}{2}}}{2}\cos \frac{{2\pi }}{2} = - 2\sin \frac{{3\pi }}{4}\cos \pi = 2\sin \frac{{3\pi }}{4} = 2\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\sqrt 2 } \right)\left[ {\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{{7\pi }}{4} + i\left( {\sin \frac{\pi }{4} - \sin \frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right] = 2i \\ \left( {\sqrt 2 } \right)^n \left[ {\left( {\cos \frac{{n\pi }}{4} + i\sin \frac{{n\pi }}{4}} \right) - \left( {\cos \frac{{n7\pi }}{4} + i\sin \frac{{n7\pi }}{4}} \right)} \right] = \left( {\sqrt 2 } \right)^n \left[ {\cos \frac{{n\pi }}{4} - \cos \frac{{n7\pi }}{4} + i\left( {\sin \frac{{n\pi }}{4} - \sin \frac{{n7\pi }}{4}} \right)} \right] = \left( {\sqrt 2 } \right)^n \left[ { - 2\sin \frac{{2n\pi }}{2}\sin \frac{{ - \frac{{3n\pi }}{2}}}{2} + i\left( {2\sin \frac{{ - \frac{{3\pi }}{2}}}{2}\cos \frac{{2n\pi }}{2}} \right)} \right] = \left( {\sqrt 2 } \right)^n \left[ {2\sin n\pi \sin \frac{{3n\pi }}{4} + i\left( { - 2\sin \frac{{3n\pi }}{4}\cos n\pi } \right)} \right] \\ \end{array} \]

    De aici lucrurile se cam complica. Vezi ca tu ai luat formula gresit. La numarator era \lambda_2^n-\lambda_1^n. Deci ultima forma (doar paranteza dreapta) impartita la 2i trebuie sa dea

        \[ \sin \frac{{n\pi }}{4} \]

    .

  6. xor_NTG
    maestru (V)

    In orice caz, sunt sigur ca exista o metoda mult mai fina de rezolvare a acestui exercitiu, nu complicatiile astea in care m-am bagat eu.

  8. andu_flavius95
    maestru (V)

    Hmmm…mi se pare o rezolvare destul de interesanta si in acelasi timp, putin dificila , d-le @xor_NTG. Am impresia ca se poate ajunge ”la dureri de cap” la cate calcule trebuie facute in aceasta rezolvare a dumneavoastra. 🙂

    Rezolvarea la care m-am gandit eu:

    Fie:

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:

	\[
	\begin{array}{l}
	 A = \left( {\begin{array}
	   1 & 1  \\
	   { - 1} & 1  \\
	\end{array}} \right) \Leftrightarrow A = \sqrt 2  \cdot \left( {\begin{array}
	   \frac{1}{\sqrt 2 } & \frac{1}{\sqrt 2 }  \\
	    - \frac{1}{\sqrt 2 } & \frac{1}{\sqrt 2 }  \\
	\end{array}} \right) = \sqrt 2  \cdot \left( {\begin{array}
	   \cos \frac{\pi }{4} & \sin \frac{\pi }{4}  \\
	   - \sin \frac{\pi }{4} & \cos \frac{\pi }{4}  \\
	\end{array}} \right) \\
	 Adica\;A = \sqrt 2  \cdot \left( {\begin{array}
	   \cos \theta & \sin \theta   \\
	    - \sin \theta & \cos \theta   \\
	\end{array}} \right)\;;unde\;\theta  = \frac{\pi }{4}. \\
	 Avem]
	

*** Error message:
Illegal character in array arg.
leading text: 	   1
Extra alignment tab has been changed to \cr.
leading text: 	   1 &
Extra alignment tab has been changed to \cr.
leading text: 	   { - 1} &
Illegal character in array arg.
leading text: 	   \frac
Illegal character in array arg.
leading text: 	   \frac
Illegal character in array arg.
leading text: 	   \cos
Missing number, treated as zero.
leading text: 	   \cos
Missing \endcsname inserted.
leading text: 	   \cos
Extra \endcsname.
leading text: 	   \cos
Undefined control sequence \@nil. (in macro \@nextchar)
leading text: 	   \cos
Missing number, treated as zero. (in macro \@nextchar)
leading text: 	   \cos
Illegal unit of measure (pt inserted).
leading text: 	   \cos
Illegal character in array arg.

    .

  9. xor_NTG
    maestru (V)

    Domnule andu_flavius95, va apreciez pentru inventivitate si pentru initiativa de a ma „scoate” din aceasta incurcatura in care am intrat in acest exercitiu. Va spun sincer ca si eu m-as fi gandit la aceasta rezolvare daca enuntul problemei era altfel, dar el este: „2.Sa se arate, folosind metoda ecuatiei caracteristice pt matricea de ordinul 2 ca:”…. Deci trebuie folosita metoda ecuatiei caracteristice (sau Teorema Hamilton – Cayley, asta e motivul pentru care m-am tot „inundat” in acele calcule.
    Ceea ce ati facut dumneavoastra este partea a 2-a a problemei, adica:
    „Sa se verifice rezultatul folosind metoda inductiei matematice si functii trigonometrice.” Ei bine, in aceste conditii, any ideas?

  10. andu_flavius95
    maestru (V)

    Stiu 😉)..macar 50% din problema este rezolvata. Am vazut ca trebuie folosita si teorema Cayley-Hamilton..dar la fel si eu m-am ”inundat” in calcule. E nevoie de multa rabdare si ceva ”artificii” bune 😆

  12. xor_NTG
    maestru (V)

    Da, 50% din problema, adica jumatate din punctaj la un eventual test.
    Daca observi, in calculul meu, se poate verifica daca elementele diagonalei secundare ale matricei sunt cele care ar trebui, prin aplicarea formulei de transformare a sumelor in produs, pentru ca primul termen al formulei Hamilton Cayley, factorul care multiplica matricea are valoarea care va ramane pe diagonala secundara, caci al doilea termen este inmultit cu matricea identica, care are 0 pe diagonala secundara. Am expus ideea pentru a nu o uita 😀 fiindca acum trebuie sa plec la masa si s-ar putea sa ma ocup cu alte lucruri. Cheers!

  13. andu_flavius95
    maestru (V)

    🙂)) true story…scuze ca nu implic cum trebuie in idei foarte bine expuse si toate cele 🙂…chestia este ca sunt putin cam ”fresh” in studiul algebrei lineare ..de abia am inceput si eu studiu independent de ceva saptamani 😀

  14. xor_NTG
    maestru (V)

    Pai si eu am inceput studiul algebrei liniare acum vreo 3 saptamani. De fapt, am inceput studiul de la matrici in colo pentru ca permutarile le acoperisem din martie. Mai am un pic si termin partea asta. Abia astept sa intru la analiza.

Raspunde

Raspunde