Trigonometrie

Question

ciprian91

Pe: 28 iunie 20122012-06-28T11:07:22+03:00 2012-06-28T11:07:22+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Trigonometrie

1)Sa se rezolve ecuatia in intervalul [-1,1] arcsin x +arcsin 1/radical din 2=pi/2

2)cos(2x+ pi/2)=cos(x-pi/2) in multimea R

3)3sin x+ radical din 3 cos x=0

4)cos 23pi/12 sin pi/12 (acest exercitiu l-am facut,dar babeste daca pot sa zic asa,exista vreo solutie mai rapida???

Daca puteti sa-mi dati niste formule si moduri practice de rezolvare la aceste exercitii

Si as mai avea niste nelamuriri,daca am facut corect acest gen de exercitiu

sinx+cosx=0 in intervalul [0,2pi)

am ridicat la patrat si mi-a dat

2sinxcosx=-1

am folosit formula 2sinxcosx=sin2x

sin2x=-1

si mi-a dat x={3pi/4,7pi/4}

O alta problema

sin3x=sinx in intervalul (0,pi)

mi-a dat

2sinxcos2x=0 => sinxcosx=0 acum aici ce fac??

sinx=0 si cosx=0 si fac o reuniune a rezultatelor sau o intersectie??

si arsin 0= 0 sau cu pi sau facem si 0 si pi? zic asta pentru ca
sin pi= sin 0 =0

daca m-ati putea ajuta sa-mi dati niste indicii privind aceste 2 exercitii

AM POSTAT EXERCITIILE LA CLASA A X-A.IMI CER SCUZE

10 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

DD · Answer 1 · 2012-06-28T16:33:33+03:00

1]. arcsin(1/(radical din 2))=pi/4 ->asc sin (x)=pi/2-pi/4=pi/4->x=1/(radical din 2).
2].2.x+pi/2=(+/-).(x-pi/2)-> determini pe x.
3]. 3.sin(x)+(radical din 3).cos(x)=0->(radical din 3).sin(x)+cos(x)=0->
tg(x)=-1/(radical din 3)->x=-pi/6 , sau x=5.(pi)/6. (ajunge pt .azi)

PhantomR · Answer 2 · 2012-06-28T17:13:04+03:00

$\fbox{4.}$ Calculati $\cos \frac{23\pi}{12}$ si $\sin \frac{\pi}{12}$ .

Demonstratie: $\cos \frac{23\pi}{12}=\cos \frac{24\pi - \pi}{12}=\cos \left( 2\pi - \frac{\pi}{12}\right)=\cos -\frac{\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{12}$ .

Din $\cos 2x =\cos(x+x)=\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^2-\sin^2x=(1-\sin^2x)-\sin^2x= 1-2\sin^2x \stackrel{x\rightarrow \frac{y}{2}}{\Rightarrow} \cos y = 1- 2\sin^2\frac{y}{2} \Rightarrow \sin \frac{y}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos y}{2}}$ , semnul alegandu-se in functie de cadranul in care se afla unghiul de masura $\frac{y}{2}$ .

Punem $y=\frac{\pi}{6}$ si cum unghiul $\frac{\pi}{12}$ este in primul cadran, rezulta $\fbox{\sin \frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt 3}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{8}}=\frac{|\sqrt{3}-1|}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ .

Din Formula fundamentala a trigonometriei, avem $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2x}$ , unde semnul se alege dupa cadra. Cum $\frac{\pi}{12}$ este in primul cadran, avem $\fbox{\cos \frac{23\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{12}=\sqrt{1-\sin^2\frac{\pi}{12}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}\right)^2}=\displaystyle \sqrt{\frac{16-(8-2\sqrt{12})}{16}}=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{3}}{16}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt 3}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt 3+1)^2}{8}}=\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}}$ .

ciprian91 · Answer 3 · 2012-06-28T17:36:12+03:00

PhantomR wrote: $\fbox{4.}$ Calculati $\cos \frac{23\pi}{12}$ si $\sin \frac{\pi}{12}$ .

Demonstratie: $\cos \frac{23\pi}{12}=\cos \frac{24\pi - \pi}{12}=\cos \left( 2\pi - \frac{\pi}{12}\right)=\cos -\frac{\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{12}$ .

Din $\cos 2x =\cos(x+x)=\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos^2-\sin^2x=(1-\sin^2x)-\sin^2x= 1-2\sin^2x \stackrel{x\rightarrow \frac{y}{2}}{\Rightarrow} \cos y = 1- 2\sin^2\frac{y}{2} \Rightarrow \sin \frac{y}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos y}{2}}$ , semnul alegandu-se in functie de cadranul in care se afla unghiul de masura $\frac{y}{2}$ .

Punem $y=\frac{\pi}{6}$ si cum unghiul $\frac{\pi}{12}$ este in primul cadran, rezulta $\fbox{\sin \frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt 3}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{8}}=\frac{|\sqrt{3}-1|}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt 3-1}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ .

Din Formula fundamentala a trigonometriei, avem $\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2x}$ , unde semnul se alege dupa cadra. Cum $\frac{\pi}{12}$ este in primul cadran, avem $\fbox{\cos \frac{23\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{12}=\sqrt{1-\sin^2\frac{\pi}{12}}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}\right)^2}=\displaystyle \sqrt{\frac{16-(8-2\sqrt{12})}{16}}=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{3}}{16}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt 3}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt 3+1)^2}{8}}=\frac{\sqrt 3+1}{2\sqrt 2}=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}}$ .

As avea o intrebare,ce formula ati aplicat aici cos(2pi-pi/12)=cos(pi/12)
Si raspunsul este gresit cos pi/12 *sin pi/12=1/2 cos pi/6*sin pi/6
Folosim formula sin2x=2sinxcosx

1/2 sin2pi/12=1/2 sin pi/6=1/2*1/2=1/4

Cand am facut babeste mi-a dat la fel.As vrea sa stiu decat acea formula care ati aplicat-o

Integrator · Answer 4 · 2012-06-28T17:39:00+03:00

DD wrote: 1]. arcsin(1/(radical din 2))=pi/4 ->asc sin (x)=pi/2-pi/4=pi/4->x=1/(radical din 2).
2].2.x+pi/2=(+/-).(x-pi/2)-> determini pe x.
3]. 3.sin(x)+(radical din 3).cos(x)=0->(radical din 3).sin(x)+cos(x)=0->
tg(x)=-1/(radical din 3)->x=-pi/6 , sau x=5.(pi)/6. (ajunge pt .azi)

La punctul 2) si 3) sunt mai multe solutii in functie de un parametru intreg k……

ciprian91 · Answer 5 · 2012-06-28T17:39:29+03:00

DD wrote: 1]. arcsin(1/(radical din 2))=pi/4 ->asc sin (x)=pi/2-pi/4=pi/4->x=1/(radical din 2).
2].2.x+pi/2=(+/-).(x-pi/2)-> determini pe x.
3]. 3.sin(x)+(radical din 3).cos(x)=0->(radical din 3).sin(x)+cos(x)=0->
tg(x)=-1/(radical din 3)->x=-pi/6 , sau x=5.(pi)/6. (ajunge pt .azi)

Va multumesc pentru raspuns,primul exercitiu l-am inteles.
Nu am inteles deloc exercitiul 2 si 3:|:|:|daca vreti sa le explicati mai detaliat

Integrator · Answer 6 · 2012-06-28T18:03:26+03:00

ciprian91 wrote: [quote=DD]1]. arcsin(1/(radical din 2))=pi/4 ->asc sin (x)=pi/2-pi/4=pi/4->x=1/(radical din 2).
2].2.x+pi/2=(+/-).(x-pi/2)-> determini pe x.
3]. 3.sin(x)+(radical din 3).cos(x)=0->(radical din 3).sin(x)+cos(x)=0->
tg(x)=-1/(radical din 3)->x=-pi/6 , sau x=5.(pi)/6. (ajunge pt .azi)

Va multumesc pentru raspuns,primul exercitiu l-am inteles.
Nu am inteles deloc exercitiul 2 si 3:|:|:|daca vreti sa le explicati mai detaliat
2) Se trece membrul doi al ecuatiei in stanga si rezulta $cosu-cosv=0$ .Se aplica formula $cosu-cosv=-2 \cdot sin{\frac{u+v}{2}} \cdot sin{\frac{u-v}{2}}=0$ unde $u=2 \cdot x+\frac{\pi}{2}$ si $v=x-\frac{\pi}{2}$ si rezulta in final solutiile $x=\frac{2 \cdot k \cdot \pi}{3}$ si respectiv $x=(2 \cdot k-1) \cdot \pi$ unde $k=0,\pm 1,\pm 2,.....,\pm (n-1)$
3) Rezulta $x=\frac{5 \cdot \pi}{6}+k \cdot \pi$ cu aceleasi valori pentru $k$ de mai sus.

PhantomR · Answer 7 · 2012-06-29T07:47:37+03:00

ciprian91 wrote:

Si raspunsul este gresit cos pi/12 *sin pi/12=1/2 cos pi/6*sin pi/6
Folosim formula sin2x=2sinxcosx

1/2 sin2pi/12=1/2 sin pi/6=1/2*1/2=1/4

Cand am facut babeste mi-a dat la fel.

ciprian91 wrote:
As avea o intrebare,ce formula ati aplicat aici cos(2pi-pi/12)=cos(pi/12)

As vrea sa stiu decat acea formula care ati aplicat-o

Am folosit periodicitatea, iar apoi paritatea functiei cosinus.

ciprian91 · Answer 8 · 2012-06-29T22:03:19+03:00

ciprian91

2012-06-29T22:03:19+03:00A raspuns pe 29 iunie 2012 la 10:03 PM

Nu am observat faptul ca s-a copiat gresit enuntul problemei si de aceea am semnalat „greseala”(in caz, ca se mai uita cineva) 🙂:):)

- 0
Raspunde

Integrator · Answer 9 · 2012-06-30T04:35:44+03:00

ciprian91 wrote: Nu am observat faptul ca s-a copiat gresit enuntul problemei si de aceea am semnalat „greseala”(in caz, ca se mai uita cineva) 🙂:):)

Exercitiile de la punctele 2) si 3) rezolvate de mine s-au inteles? 🙄

ciprian91 · Answer 10 · 2012-06-30T08:10:10+03:00

Integrator wrote: [quote=ciprian91]Nu am observat faptul ca s-a copiat gresit enuntul problemei si de aceea am semnalat „greseala”(in caz, ca se mai uita cineva) 🙂:):)

Exercitiile de la punctele 2) si 3) rezolvate de mine s-au inteles? 🙄

Pe 2 l-am inteles,nu stiam ce sa fac ca nu aveam interval specificat,asa ca am lasat solutiile asa. si am facut intersectia lor .In acest caz solutiile coincid

x={=/- pi/4+ kpi}

Pe 3 l-am facut altfel,dar cred ca l-am gresit.Nu am inteles ce formula s-a aplicat.ma refer la tangenta:|:|nu am gasit cea formula:|:|

radical3 sin x- cos x=1 |:2

radical din 3/2 sin x – 1/2 cos x=1/2

am trasformat

cos pi/6 sinx-sin pi/6 cos x=1/2

sina cosb-sinb cosa=sin(a-b)

mi-a dat

sin(x-pi/6)=1/2

si mi-a dat x=((-1)^k*pi+pi+k)/6

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Trigonometrie

Similare

10 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul