Home/ Intrebari/Q 74798
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Ludacristi
Pe: 2011-12-01T18:07:51+02:00 In: In:

Precizaţi care este valoarea minimă a expresiei

Fie x_{1},x_{2},x_{3} trei numere din intervalul (0,1) sau din intervalul (1,+∞).Precizaţi care este valoarea minimă a expresiei
E=\log_{x_{1}}{x_{2}x_{3}}+\log_{x_{2}}{x_{1}x_{3}}+\log_{x_{3}}{x_{1}x_{2}}.

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Prin schimbarea bazei obtinem:

    E=(\frac{\lg x_2}{\lg x_1}+\frac{\lg x_1}{\lg x_2})+(\frac{\lg x_3}{\lg_x_2}+\frac{\lg x_2}{\lg x_3})+(\frac{\lg x_1}{\lg x_3} + \frac{\lg x_3}{\lg x_1}).

    Deoarece ori toate numerele sunt >1, ori <1, toate fractiile anterioare sunt pozitive. Din inegalitatea mediilor avem: \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{2} \geq \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}=1 \Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2. Egalitatea are loc pentru: \frac{a}{b}=\frac{b}{a} \Leftrightarrow a^2=b^2 \Leftrightarrow a^2-b^2=0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)=0 si cum ori a>0,b>0 \Rightarrow a+b>0, a<0,b<0 \Rightarrow a-b<0, rezulta a-b=0 \Leftrightarrow a=b.

    Aplicand inegalitatea anterioara perechilor: (a;b)=(\lg x_1;\lg x_2), (\lg x_2;\lg x_3), (\lg x_3; \lg x_1) obtinem ca valoarea minima este 6, aceasta atingandu-se pentru \lg x_1=\lg x_2 = \lg x_3 \Leftrightarrow x_1=x_2=x_3.

    Imi cer scuze ca m-am complicat atat la cazul de egalitate. De fapt nu este chiar asa complicat cum ar putea parea, dar nu am avut alta idee de a demonstra ca in conditiile problemei a^2=b^2 \Leftrightarrow a=b.

  2. Ludacristi

    Multumesc pentru ajutor 😀 .

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu cea mai mare placere! >:D<

Raspunde

Raspunde