Pot exista functii continue f:R→R astfel incat f(0)=1 si f(f(x)=x^2,∀x e R?
Multumesc
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Presupunem prin absurd ca ar exista o astfel de functie.
Luand in relatia din enunt x=0 rezulta ca f(1)=0
Pe de alta parte restrictia lui f la intervalul numerelor pozitive este injectiva.
Intradevar daca x;y>=0 si f(x)=f(y) rezulta ca f(f(x))=f(f(y)) de unde rezulta x^2=y^2 de unde rezulta (avnd in vedere ca x;y>=0)rezulta ca
x=y.
Deci pe intervalul numerelor pozitive f este continua si injectiva, deci strcit monotona si cum f(0)=1 si f(1)=0 rezulta ca f este strcit descrescatoare pe intervalul numerelor pozitive [0;infinit) (1)
Analog se arata ca f este injectiva pe intervalul (-infinit;0] si , deoarece inlocuind in relatia din enunt x=-1 rezulta ca f(f(-1))=1 rezulta ca in mod obligatoriu f(-1)=0.
Deci pe intervalul (-infinit;0] functia f este continua si injectiva deci strict monotona si deoarece f(-1)=0 si f(0)=1 rezulta ca f este tsrcit crescatoare pe intervalul (-infinit;0]. (2)
Din (1) si (2) rezulta ca valoarea maxima pe care o poate lua f este f(0)=1 si deci f(x)<2 pentru orice x real. Ca urmare f(f(x))<2 pentru orice x real.
Pe de alta parte din relatia din enunt rezulta ca f(f(2))=4 contradictie si deci nu exista astfel de functii.