Buna.As vrea,daca se poate sa imi rezolve si mie cineva urmatorul exercitiu.Eu nu stiu mai nimic la matematica si o sa ma asculte la acest exercitiu pentru nota.Deci chiar nu stiu sa il rezolv.Nu pricep nimic oricat mi-ar explica cineva,poate stiu pe moment,apoi uit tot.Cred ca e si din cauza ca pe clasa a 8 a am avut mari probleme cu un profesor care m-a santajat cu anumite chestii.
Se considera multumea G=(2, ∞) si operatia x o y = xy-2 (x+y)+6, ∀ x,y ∈ G.
a) Sa se arate ca x o y=(x-2) (y-2)+2, ∀ x,y ∈ G.
b) Sa se demonstreze ca x o y ∈ G,pentru ∀ x,y ∈ G.
c) Sa se afle elementele simetrizabile ale multimii G in raport cu legea „o”.
a) x o y = xy-2 (x+y)+6=xy-2x-2y+6=x(y-2)-2y+4+2= x(y-2)-2(y-2)+2=(y-2)(x-2)+2=(x-2)(y-2)+2
b) x>2,x-2>0 si similar y-2>0 atunci si produsul lor (y-2)(x-2)>0 , adunam atat in stanga cat si in dreapta nr. 2, relatia nu este afectata si rezulta (x-2) (y-2)+2>2 adica (x o y)>2 deci x o y apartine multimii G.
c) Un element x este simetrizabil in raport cu legea de compozitie „o” daca exista x’=simetricul lui x, x’ apartine G, astfel incat x o x’=e unde e=element neutru.
Prima data determinam e care prin definitie respecta x o e=x adica (x-2) (e-2)+2=x echivalent cu (x-2) (e-2)+2-x=0 sau (x-2) (e-3)=0 rezulta e=3 , oricare ar fi x.
Aflam x’ astfel: x o x’=(x-2) (x’-2)+2=3 echivalent cu (x-2) (x’-2)=1 rezulta x’=2+(1/(x-2))
observam ca (x-2)>0 adica (1/(x-2))>0 echivalent cu (2+(1/(x-2))>2 adica x’>2 sau x’ apartine multimii G indiferent de x altfel spus orice element al multimii G este simetrizabil in raport cu legea de compozitie „o”
Mersi mult.🙂