Am nevoie de exercitii rezolvate ca sa inteleg si sa continui cu celalalte. Si nu gasesc nimic. Mi-ar fi de folos rezolvate astea :
1. Sa se calc urm sume si sa se verifice prin inductie matematica :
a) 1*4 + 2*5 + … + n(n+3)
Aici mi-a dat S = [n(n+1)(n+5)] / 3 ( adica paranteza patrata supra 3 ). Dar asa nu imi iese verificarea la demonstrarea prin inductie.
2) Sa se calculeze si sa se verifice formulele gasite prin inductie matematica:
a) 1/(1*2) + 1/(2*3) + … + 1/[n(n+1)].
b) 1/(1*4) + 1/(4*7) + … + 1/[n(n+1)(n+2)]
3. Sa se calc:
a) 1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + …+ 1/(98*99*100)
4. Sa se dem inegalitatile:
a) 2^n >= 2n-1, n>=2
b) 2^n >= n^3, n>=10
5. Sa se arate ca pt orice nr NATURAL au lor relatiile:
a) (2^4n+5) * 5^n + (2^n+1) * (3^2n+1) * 5 se divide cu 31.
Multumesc anticipat.
Daca m este un numar natural fixat si P este un predicat logic cu o variabila in multimea numerelor naturale mai mari sau egale cu m, atunci demonstrarea unui enunt de tip P(n) pentru orice numar natural n mai mare sau egal cu m necesita doua etape:
I)Etapa de verificare:
Se demonstreaza P(m)
II) Presupunem adevarata P(k) si demonstram P(k+1)
2.a) Pentru orice numar real x diferit de 0 si de -1 avem ca
1/(x*(x+1))=(1/x)-(1/(x+1)).
Deci 1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/((n-1)*n)+1/(n*(n+1))=
=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=
=1-(1/(n+1))=n/(n+1).
Avem de demonstrat prin inductie ca pentru orice n>0 natural avem ca
P(n):1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/((n-1)*n)+1/(n*(n+1))=n/(n+1).
Etapa de verificare:
Demonstram P(1)-care se obtine prin inlocuirea lui n in P(n) cu 1
P(1):1/(1*2)=1/(1+1) este adevarata.
Presupunem adevarata P(k) si demonstram P(k+1)
P(k) se obtine prin inlocuirea lui n cu k in p(n) si p(k+1) prin inlocuirea lui n cu (k+1) in P(n).
P(k):1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(k*(k+1))=k/(k+1)
P(k+1):1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(k*(k+1))+1/((k+1)*(k+2))=
=(k+1)/(k+2)
Avem ca 1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(k*(k+1))+1/((k+1)*(k+2))=
=k/(k+1)+1/((k+1)*(k+2))=(k+1)/(k+2).
4)a) Etapa de verificare:
Demonstram P(2)
P(2):2^2>2*2-1 este adevarata.
Presupunem adevarata P(k) si demonstram P(k+1)
P(k):2^k>2*k+1; P(k+1): 2^(k+1)>=2*k+3
Daca a,b,c,d>0 si a>b atunci pentru a demonstra ca c>d este suficient sa demonstram ca c/a>b/d.
Luand pe post de a membrul stang de la P(k) pe post de b membrul drept de la P(k), pe post de c membrul stang de la P(k+1) si pe post de d membrul drept de la P(k+1) rezulta ca este suficient sa demonstram ca
(2^(k+1))/(2^k)>(2*k+3)/(2*k+1) pentru orice k>1.
(2^(k+1))/(2^k)>(2*k+3)/(2*k+1) este echivalent cu
2>1+(2/(2*k+1)) ceea ce este echivalent cu
1>2/(2*k+1) pentru orice k>1 natural
Deoarece, pentru k>1 natural maximul expresiei 2/(2*k+1) este atins pentru k=2 si este egal cu 2/5<1 exercitiul este rezolvat.
Sper sa te descurci la celalate. Succes
Multumesc din inima ! Mai am o mica intrebare :
M-am tot holbat la echivalenta asta si nu mi-am dat seama cum ti-a iesit :