Home/ Intrebari/Q 2162
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Stefan......
5
Pe: 2020-08-25T21:59:24+03:00 In: In:

Este o problemă la care eu nu …

Este o problemă la care eu nu vad rezolvarea. Cu siguranță este simpla. Putem presupune din prima ceea ce trebuie sa demonstram, ca sa vedem daca se verifica?

Similare

1 raspuns

  1. Menim

    Ideea principala a acestei rezolvari nu imi apartine. Avem urmatorul desen:

    Notam BC=a, AC=b, AB=c. Definim urmatoarele:
    x=\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{c}
    x'=\frac{PB}{AB}=\frac{PB}{c}
    y=\frac{AN}{AC}=\frac{AN}{b}
    y'=\frac{NC}{AC}=\frac{NC}{b}
    z=\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{a}
    z'=\frac{MC}{BC}=\frac{MC}{a}

    Din aceste relatii obtinem, in aceasta ordine:
    AP=cx
    PB=cx'
    AN=by
    NC=by'
    BM=az
    MC=az'

    Observam ca c=AB=AP+PB=cx+cx'=c(x+x'), deci x+x'=1. Analog, y+y'=1 si z+z'=1.

    Pe de alta parte, A_{ABC}=A_{APN}+A_{BPM}+A_{CMN}+A_{MNP}=4A_{APN}=4A_{BPM}=4A_{CMN}=4A_{MNP}.
    Din A_{ABC}=4_{APN}, obtinem ca \frac{AB\cdot AC\cdot\sin(BAC)}2=4\frac{AP\cdot AN\cdot\sin(PAN)}2. Dar unghiurile BAC si PAN sunt unul si acelasi unghi, deci AB\cdot AC=4AP\cdot AN, de unde cb=4cxby, si in final 1=4xy. Analog, obtinem 1=4x'z si 1=4z'y'.

    Avem un sistem de 6 ecuatii cu 6 necunoscute:
    \left\{\begin{matrix} x+x'=1\\ y+y'=1\\ z+z'=1\\ xy=\frac14\\ x'z=\frac14\\ z'y'=\frac14 \end{matrix}\right.

    Din primele 3 ecuatii obtinem x'=1-x, y'=1-y si z'=1-z. Inlocuim in ultimele 2, care devin:
    \left\{\begin{matrix} xy=\frac14\\ (1-x)z=\frac14\\ (1-z)(1-y)=\frac14 \end{matrix}\right.

    Din prima ecuatie, avem y=\frac{1}{4x}. Inlocuim in ultima ecuatie si le consideram acum doar pe ultimele 2:
    \left\{\begin{matrix} (1-x)z=\frac14\\ (1-z)(1-\frac1{4x})=\frac14 \end{matrix}\right.

    Din prima ecuatie, avem z=\frac1{4(1-x)}. Inlocuim in ultima ecuatie, obtinem:
    (1-\frac1{4(1-x)})(1-\frac1{4x})=\frac14
    Inmultim cu 4(1-x)\cdot 4x:
    (4(1-x)-1)(4x-1)=4x(1-x)
    (4-4x-1)(4x-1)=4x-4x^2
    (3-4x)(4x-1)=4x-4x^2
    12x-3-16x^2+4x=4x-4x^2
    12x-3-16x^2=-4x^2
    12x-3-12x^2=0
    12x^2-12x+3=0
    Impartim prin 3:
    4x^2-4x+1=0
    (2x)^2-2\cdot(2x)\cdot1+1=0
    (2x-1)^2=0
    2x-1=0
    x=\frac12

    Din x+x'=1 obtinem ca x'=\frac12, din xy=\frac14 obtinem ca y=\frac12, iar din x'z=\frac14 obtinem ca z=\frac12.
    Dar \frac12=x=\frac{AP}{AB}, deci AB=2AP, deci P este mijlocul lui AB. Analog obtinem ca si celelalte puncte sunt mijloacele laturilor pe care se situeaza.

Raspunde

Raspunde