Home/ Intrebari/Q 93097
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dtiwari
Pe: 2019-05-21T08:33:10+03:00 In: In:

limita

\lim_{x\rightarrow 0}\lfloor\frac{x^2}{\sin x\tan x}\rfloor

where \lfloor x \rfloor is floor of x

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Fie f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{cosx}}=sinx(cosx)^{-\frac{1}{2}},\;x\in [0;\frac{\pi }{2})
    Evident, O(0,0) aparține graficului acestei funcții.
    Calculele ne dau f'(x)=\frac{1}{2}\left [ (cosx)^{-\frac{3}{2}}+(cosx)^{\frac{1}{2}} \right ], iar din f'(0)=1
    deducem că dreapta de ecuație y=x este tangenta la graficul lui f în punctul O.
    f''(x)=\frac{1}{4}sinx(cosx)^{-\frac{5}{2}}(3-cos^2x)\geq 0 \;pentru\;x\in [0;\frac{\pi }{2}),
    dar egalitatea f”(x)=0 are loc doar în 0. Deducem că f este convexă pe intervalul [0;\frac{\pi}{2}).
    Dacă f este convexă pe un interval I, iar y=mx+n este ecuația unei tangente la grafic, într-un punct oarecare din I,
    atunci f(x)\geq mx+n pentru orice x din I, egalitatea având loc doar pentru punctul de tangență.
    Atunci din x\in (0;\frac{\pi }{2})\Rightarrow f(x)>x\Rightarrow sinxtgx>x^2\Rightarrow 0<\frac{x^2}{sinxtgx}<1\Rightarrow \\\Rightarrow \left \lfloor \frac{x^2}{sinxtgx} \right \rfloor=0
    Obs. Expresia \frac{x^2}{sinxtgx} este pară, deaceea \lim_{x\to 0}\left \lfloor \frac{x^2}{sinxtgx} \right \rfloor=\lim_{x\to 0\\x>0}\left \lfloor \frac{x^2}{sinxtgx} \right \rfloor=0

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Imi puteti da un indiciu cum ati ales f(x) ?

Raspunde

Raspunde