Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Valorile extreme ale unei functii pot fi considerate si la capetele intervalului?.De ex f:[0,2] ->R ; f(x)=sqrt(1+x^2)/(x+1) are valorile extreme in 0 si 2 deoarece prima derivata este pozitiva pentru orice x din [0,2] si nu se anuleaza in nici un punct.Multumesc frumos!!
Ápoi f(x)=√((1+x^2 ) )/(x+1)va fi∶f^’ (x)=[x(x+1)/√((1+x^2 ) )-√((1+x^2 ) )]/(x+1)^2 =[x^2+x-1-x^2 ]/[(x+1)^2.√((1+x^2 ) )] =(x-1)/ [(x+1)^2. √((1+x^2 ) ) , deci f'(x)=0->X-1=0 SAU X=1 si cprespunde lui f(1)=√2/2 si tinand seama de semnul derivate rezulta ca petru x=1
f(x)are un minim care este si valoarea extrema a luif(x)
Valoarea extrema a unei functii, corespunde valorii variabilei ”x” pentru care f'(x)=0 si capetle unui interval ,in general, nu pot fi puncte de extreme
Multumesc mult.Am gresit eu la calcul derivatei,am pus + cand am derivat raportul.Va doresc o zi cat mai placuta!!
Nu chiar exact. În exemplul de faţă, punctul x=1 este punct de minim, iar punctele x=0 şi x=2 sunt puncte de maxim (local) pentru funcţia dată.
În general, singura legătură dintre punctele de extrem şi zerourile derivatei este teorema lui Fermat. Aceasta spune că într-un punct de extrem derivata funcţiei este zero dacă funcţia e derivabilă în acel punct şi dacă punctul se află în interiorul domeniului de definiţie (i.e. nu este capăt al unui interval care reprezintă domeniul, sau o parte a sa.)
Astfel, putem avea foarte bine puncte de extrem în care derivata nu se anulează (pentru simplul motiv că nu există), aşa cum putem avea puncte de extrem în care funcţia e derivabilă, dar derivata nu e zero (cum sunt x=0 şi x=2 mai sus).
Totodată, putem avea puncte în care derivata se anulează, dar care nu sunt puncte de extrem.
Aşadar, o supersimplificare de genul „Valoarea extrema a unei functii, corespunde valorii variabilei ”x” pentru care f'(x)=0″ este nocivă (inclusiv din cauza virgulei dintre subiect şi predicat).
În fine, legat de chestiunea capetelor intervalelor. E chiar nebanal de dat un exemplu de funcţie f:[a,b]->R pentru care a şi b nu sunt puncte de extrem.
După mine, aflarea punctelor de extrem local trebuie abordată astfel.![f:[0;\frac{\pi}{2}]\to \mathbb{R},\;f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x}\;pt\;x\in (0;\frac{\pi}{2}]\\\;\;a\;\;pt \;x=0 \end{cases}.](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fb716fc9091aecf4a36deff0444b48a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![f:[0;1]\to \mathbb{R},\;f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}\;pt\;x\in (0;1]\\\;\;0\;\;pt \;x=0 \end{cases}.](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-971da26f0a90d03f6d1b86b6fa4f3d6f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![f:[-1;1]\to \mathbb{R},\;f(x)=\begin{cases}x\sin \frac{1}{x}\;pt\;x\neq 0\\\;\;a\;\;pt \;x=0 \end{cases}.](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-317090de54f95d3b61d8e258df26df32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\;f(x)=\sqrt[3]{x^2(x-3)}.](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67bc36f49e0a58f51461b8fa3d0dea5c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1) Capetele (evident, închise) intervalelor ce alcătuiesc domeniul de definiţie pot fi, sau nu, puncte de extrem.
Exemplul 1:
0 este punct de maxim dacă a>=1, şi punct de minim dacă a<1; pi/2 este punct de minim.
O condiţie suficientă ca un capăt de interval să fie punct de extrem ar fi existenţa limitei în acel punct, dar diferită de
valoarea functiei.
Exemplul 2:
Aici, capătul 0 nu este punct de extrem pentru că în orice vecinătate a sa f ia atât valori pozitive, cât şi valori negative,
adică mai mari sau mai mici decât f(0).
2) Punctele de discontinuitate pot fi, sau nu, puncte de extrem.
Exemplul 3:
Pentru a >0, x=0 este punct de discontinuitate şi punct de maxim, iar pentru a<0, este punct de minim.
Exemplul 4:
Aici, punctul 0 este punct de discontinuitate indiferent de valoarea lui a; dar, pentru a>=1, el este punct de maxim,
pentru a<=-1, este punct de minim, iar pentru a în (-1; 1), 0 nu este punct de extrem.
3) Punctele în care f este continua, dar nu este derivabilă pot fi, sau nu, puncte de extrem.
Astfel, în exemplul 3, pentru a=0, f este continuă, dar nederivabilă în 0, iar acesta nu este punct de extrem.
Exemplul 5:
Aici f este continuă pe R, dar nu este derivabilă în 0 şi în 3. Primul punct (punct de intoarcere) este şi punct de maxim.
Al doilea punct (punct de inflexiune cu tangentă verticală) nu este punct de extrem.
Evident, şi punctele unghiulare pot fi puncte de extrem
4) Punctele de extrem din interiorul unui interval pe care f este derivabilă se caută, cum bine se ştie, printre zerourile derivatei.
Evident, am avut în vedere puncte de discontinuitate sau de nederivabilitate izolate, adică puncte pentru care există o vecinătate
în care ele sunt singurele puncte de felul respectiv, în celelalte puncte ale vecinătăţii funcţia fiind chiar derivabilă. În practica
şcolară, nu apar altfel de ”monştri”.
Inca o data domnilor,sincerele mele multumiri,sunteti niste oameni deosebiti,aveti toata stima si respectul din partea mea.Va doresc multa sanatate si sa aveti parte numai de bucurii alaturi de cei dragi!!Toate cele bune!!
P.S.Domnule ghioknt profesorul meu iubeste astfel de „monstri”,am intalnit majoritatea exemplelor date de dumneavoastra daca nu pe toate!!
Dacă tot citezi, citează corect: „monştri”, nu „monştrii”. E ca şi cum ai scrie „nu apar astfel de iepurii”🙂
P.S. Are cineva idee de ce, pe acest site, apare atât de des scrierea „aflii”?
Aveti un spirit de observatie foarte bun.Imi cer scuze,mi-a scapat.