Home/ Intrebari/Q 86295
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2014-04-18T14:27:13+03:00 In: In:

verificare exercitiu

http://postimg.org/image/6c7utrzi7/

Similare

4 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Rezolvarea ta este necinstită. Tu, de fapt, scrii:
    \lim \left [ \frac{\ln (1+\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{\ln (1+\frac{2}{n^2})}{\frac{2}{n^2}}\cdot \frac{2}{n^2}+...+\frac{\ln (1+\frac{n}{n^2})}{\frac{n}{n^2}}\cdot \frac{n}{n^2} \right ]=\lim \left [ \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n}{n^2} \right ].
    Spune-mi te rog, care este teorema care îţi permite ca, sub limită, să înlocuieşti cu 1 nişte rapoarte care nu sunt egale
    cu 1, sunt subunitare de fapt. Să nu-mi spui că acele rapoarte au limita 1. Pentru a înlocui o expresie cu limita sa, cinstit este
    să treci la limită, adică să scrii:
    lim \frac{\ln (1+\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}\cdot lim \frac{1}{n^2}+lim\frac{\ln (1+\frac{2}{n^2})}{\frac{2}{n^2}}\cdot lim \frac{2}{n^2}+...+lim\frac{\ln (1+\frac{n}{n^2})}{\frac{n}{n^2}}\cdot lim\frac{n}{n^2}=1\cdot 0+1\cdot 0+...=0+0+....
    de câte ori 0? Păi, de o infinitate de ori, pentru că suma ta, înainte de a trece la limită are n termeni, dar dacă treci
    la limită, acest n devine 00, deci, la modul cinstit obţii nedeterminarea 0 ori oo.
    Este ca şi cum ai veni la mine şi mi-ai propune să fim parteneri la o afacere cu următorul contract: tu încasezi profiturile
    şi eu achit pierderile.
    Metoda corectă de rezolvare a problemei a fost prezentată mai deunăzi de domnul PhantomR aici:
    http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=30384
    Exact la fel se poate demonstra urmatoarea generalizare:
    Presupunem că sunt îndeplinite ipotezele:
    a) funcţiile f,g:(a;b)\to \mathbb{R},\;a\leq 0<b,\;g(x)>0\;si\;\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1;
    b) expresia a_{k,n} este astfel încât şirurile (a_{k,n})_{n\geq 1} converg la 0 pt. k=1,2,…,n;
    c) există \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}g(a_{k,n}).
    Atunci \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(a_{k,n})=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}g(a_{k,n}).
    Cu bine,
    ghioknt
    PS Prin a trece la limită înţeleg a aplica teoremele despre operaţii cu limite.

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Voi revenii maine cu o noua posibila rezolvare,rog sa nu mi se ofere vreo solutie inca 😀

  4. grapefruit
    maestru (V)

    http://postimg.org/image/dfbto9kap/

    Sper sa fie bine,ast un raspuns!

  5. ghioknt
    profesor

    Da, acesta este scheletul demonstraţiei. Pentru o demonstraţie fără reproş, mai trebuie precizate condiţiile în care au loc
    acele duble inegalităţi şi de ce şirurile k/n^2 îndeplinesc acele condiţii.
    Exact la fel se demonstrează rezultatul mai general de care ţi-am spus în postarea precedentă. Dacă citezi acest rezultat
    ridicându-l la rangul de teoremă, atunci pentru problema ta ai următorul text demonstrativ:
    pentru că funcţiile f(x)=ln(1+x) şi g(x)=x şi şirurile a_{k,n}=\frac{k}{n^2} îndeplinesc ipotezele teoremei, atunci
    \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n\ln (1+\frac{k}{n^2})=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=...=\frac{1}{2}
    şi consecinţa pentru limita produsului şi cam atât.
    Cu bine,
    ghioknt

Raspunde

Raspunde