Home/ Intrebari/Q 74893
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andrei_g
Pe: 2011-12-08T14:20:07+02:00 In: In:

Ecuatii exp.

Sa se rezolve urmatoarele ecuatii exponentiale:

    \[ \begin{array}{l} A).\quad 3^{\sqrt {x - 2} } + 5^{\sqrt {x^2 - 3x + 2} } = 1 \\ B).\quad a^{2x} + b^{2x} + 2(ab)^x = 0\quad ,cu\;a,b > 0,\;a,b \ne 1 \\ C).\quad 6^x - 2^x = 32 \\ D).\quad 2^x - \left( {\frac{3}{5}} \right)^x = \frac{7}{5} \\ \end{array} \]

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    B) (a^x+b^x)^2=0 \Leftrightarrow a^x+b^x=0. Dar a^x>0 & b^x>0 \Rightarrow a^x+b^x>0, adica ecuatia nu are solutii reale.

    D) 2^x-(\frac{3}{5})^x=\frac{7}{5}

    Functia f(x)=2^x este strict crescatoare (exponentiala cu baza supraunitara)
    Functia g(x)=(\frac{3}{5})^x este strict descrescatoare (exponentiala cu baza subunitara) \Rightarrow h(x)=-(\frac{3}{5})^x strict crescatoare.

    Adica in membrul drept avem o functie strict crescatoare [suma a doua functii strict crescatoare] ( si deci injectiva ), iar in membrul stang avem o constanta. Ecuatia are deci cel mult o solutie. Observam ca x=1 verifica si deci aceasta este singura.

    C) 2^x(3^x-1)=32
    Daca x\leq0 atunci 6^x\leq6^0=1 si 2^x>0 \Rightarrow -2^x<0 \Rightarrow 6^x-2^x<1 adica nu avem solutii.
    Pentru x>1 avem 3^x-1>3^0-1=0 adica in membrul drept al ecuatiei avem un produs de functii strict crescatoare si pozitive, care este si el la randul lui o functie strict crescatoare (si deci injectiva) \Rightarrow ecuatia are solutie unica. Observand x=2 solutie, aceasta este unica.

    A) Se pun conditiile de existenta pentru cei doi radicali (x\geq 2 si x\in(-\infty,1]\cup[2,\infty) \Rightarrow [tex]x\geq 2[/tex]). Observam ca \sqrt{x-2} este functie strict crescatoare (compunere dintre functia radical de ordinul doi si functia de gradul intai cu coeficient dominant pozitiv,ambele strict crescatoare). De asemenea, deoarece in cazul functiei de gradul doi de sub al doilea radical avem \frac{-b}{2a}=\frac{3}{2} si x\geq 2>\frac{-b}{2a}=\frac{3}{2}, functia de gradul doi este strict crescatoare pentru x\geq 2 si rezulta ca si \sqrt{x^2-3x+2} este strict crescatoare (compunere dintre functia radical (crescatoare) de ordinul doi si functia de gradul doi restrictionata pentru a fi strict crescatoare). Cum 3,5>1, avem in membrul stang al ecuatiei suma de functii strict crescatoare, adica functie strict crescatoare. Dar atunci 3^{\sqrt{x-2}}+5^{\sqrt{x^2-3x+2}}\geq 3^0+5^0=2>1, adica ecuatia nu are solutii reale.

  2. andrei_g

    Multumesc! 🙂

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Cu cea mai mare placere!

    EDIT: Am gresit la ultima problema. De fapt ecuatia nu are solutii. Am editat celalalt post. Imi cer scuze!

Raspunde

Raspunde