Home/ Intrebari/Q 64310
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

alex96
Pe: 2007-11-08T16:46:06+02:00 In: In:

exercitiu cls 5

comparati numerele: \;2^{111} \cdot 5^{38}\; si \; 3^{131}.

Similare

1 raspuns

  1. ex-admin
    profesor

    Incercam sa dovedim ca

        \[ \;2^{111} \cdot 5^{38} < 3^{131} \; \]

    . Daca incercarile noastre nu vor da roade, atunci vom presupune ca inegalitatea nu este adevarata, si vom incerca sa aratam ca

        \[ \;2^{111} \cdot 5^{38} > 3^{131} \; \]

    .

    Ideea este aceea de a gasi puteri ale lui 2, puteri ale lui 5 sau produse de astfel de puteri, care sa fie mai mici (dar cat mai apropiate) de puteri ale lui 3.

    Ne gandim ca 80<81, 8<9 si 25<27, adica

        \[ \;2^4 \cdot 5 < 3^4 \;,\;\;2^3 < 3^2 \;\;{\rm{si}}\;\;5^2 < 3^3 \]

    .

    Incercam sa folosim cat mai mult pe prima dintre acestea, deoarece 80<81 este cea mai avantajoasa (numere mari dar si foarte apropiate):

        \[ \left( {2^4 \cdot 5} \right)^{{\rm{la o putere cat mai mare}}} < \left( {3^4 } \right)^{{\rm{la acea putere}}} \]

    .

    Gasim \; \left( {2^4 \cdot 5} \right)^{27} < \left( {3^4 } \right)^{27} \;, adica:

        \[ 2^{108} \cdot 5^{27} < 3^{108} \;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right) \]

    .

    Acum, facand mici calcule potrivim si celelalte inegalitati:

        \[ 2^3 < 3^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \]

    si

        \[ 5^{11} < 3^{21} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right) \]

    .

    Inmultind relatiile (1), (2) si (3) rezulta ca intr-adevar:

        \[ \;2^{111} \cdot 5^{38} < 3^{131} \; \]

Raspunde

Raspunde