Home/ Intrebari/Q 2165
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Stefan......
5
Pe: 2020-08-25T22:04:33+03:00 In: In:

Ex 3 va rog!

Ex 3 va rog!

Similare

2 raspunsuri

  1. Menim

    Demonstram implicatia directa, anume ca daca N este mijlocul lui CD, atunci AQ\perp BR. Avem urmatorul desen:

    QE este perpendiculara pe AB, iar T este punctul de intersectie al AQ si BR. Notam lungimea laturii patratului cu l.

    Deoarece AP\equiv BM, rezulta ca PM||BC, deci unghiurile triunghiurilor PAR si DAN sunt congruente, adica triunghiurile sunt asemenea. Atunci:
    \frac{PR}{DN}=\frac{AP}{AD}
    \frac{PR}{\frac{l}2}=\frac{2PD}{3PD}=\frac23
    2\frac{PR}{l}=\frac23
    \frac{PR}{l}=\frac13
    PR=\frac{l}{3}

    Analog, QM=\frac{l}{3}. Deoarece PM\equiv DC, rezulta ca QR=CD-PR-QM=l-\frac{l}{3}-\frac{l}{3}=\frac{l}{3}.

    Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul QAE. Folosim faptul ca QE\equiv MB\equiv \frac23BC, precum si AE=PQ=\frac{l}3+\frac{l}3=\frac23l:
    QE^2+AE^2=AQ^2
    (\frac23l)^2+(\frac{2}{3}l)^2=AQ^2
    \frac89l^2=AQ^2
    AQ=\frac{2\sqrt2}3l
    Analog, BR=\frac{2\sqrt2}3l

    Deoarece RQ||AB, unghiurile triunghiurilor TAB si TQR sunt congruente, deci triunghiurile sunt asemenea. Atunci:
    \frac{TA}{TQ}=\frac{TB}{TR}=\frac{AB}{QR}=\frac{l}{\frac{l}{3}}=3
    Rezulta ca \frac{TA}{TQ}=\frac{TB}{TR}=3, adica TA=3TQ si TB=3TR, sau TQ=\frac13TA si TR=\frac13TB. Atunci:
    AQ=TA+TQ=TA+\frac13TA=\frac43TA
    TA=\frac34AQ=\frac34\cdot\frac{2\sqrt2}{3}l=\frac{\sqrt2}{2}l.

    Analog obtinem ca BT=\frac{\sqrt2}{2}l.

    In final, observam ca TA^2+BT^2=(\frac{\sqrt2}{2}l)^2+(\frac{\sqrt2}{2}l)^2=\frac24l^2+\frac24l^2=l^2=AB^2, deci din Teorema lui Pitagora, triunghiul TAB este dreptunghic in T.

  2. Menim

    Demonstram acum si inversa, adica daca unghiul ATB este drept, atunci N este mijlocul lui CD.

    Folosim acelasi desen ca mai sus. Notam lungimea lui DN cu n. Atunci lungimea lui NC este l-n.

    Deoarece PQ||DC, unghiurile triunghiurilor DAN si PAQ sunt congruente, deci triunghiurile sunt asemenea. Atunci:
    \frac{DN}{PQ}=\frac{AD}{AP}
    \frac{n}{PQ}=\frac{DA}{\frac23DA}
    \frac{n}{PQ}=\frac32
    PQ=\frac23n

    Analog, din asemanarea triunghiurilor BCN si BMR, obtinem:
    RM=\frac23(l-n)

    QR=PM-PQ-RM=l-\frac23n-\frac23(l-n)=l-\frac23n-\frac23l-\frac23n_=\frac13l

    Aplicam Teorema lui Pitagora in triumghiurile QTA si RTB:
    QT^2+TA^2=QA^2
    RT^2+TB^2=RB^2

    Adunam cele 2 relatii:
    (QT^2+RT^2)+(TA^2+TB^2)=QA^2+RB^2
    Deoarece triunghiurile QTR si ATB sunt dreptunghice:
    QR^2+AB^2=QA^2+RB^2
    Deoarece PQA su MRB sunt dreptunghice, relatia devine:
    QR^2+AB^2=PA^2+PQ^2+MB^2+RM^2

    Inlocuim valorile(in functie de l si n) pe care le-am calculat mai sus:
    (\frac13l)^2+l^2=(\frac23l)^2+(\frac23n)^2+(\frac23l)^2+(\frac23(l-n))^2

    \frac19l^2+l^2=\frac49l^2+\frac49n^2+\frac49l^2+\frac49(l^2+n^2-2ln)
    Inmultim cu 9:
    l^2+9l^2=4l^2+4n^2+4l^2+4(n^2+l^2+2ln)
    10l^2=8l^2+4n^2+4l^2+4n^2-8ln
    10l^2=12l^2+8n^2-8ln
    0=2l^2+8n^2-8ln
    Impartim cu 2 si inversam membrul stang cu membrul drept:
    l^2+4n^2-4ln=0
    l^2-2\cdot l\cdot(2n)+(2n)^2=0
    (l-2n)^2=0
    l-2n=0
    l=2n
    DC=2DN, deci N este mijlocul lui DC.

Raspunde

Raspunde