Home/ Intrebari/Q 93264
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

alind
Pe: 2022-10-14T22:10:07+03:00 In: In:

Vectori

Vectori

Attached files

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Este util, zic eu, să știi următoarele lucruri privitoare la relațiile între vectori.
    Dacă A și B sunt distincte, atunci pentru orice punct M de pe dreapta AB se pot găsi perechi de numere (a, b), cu suma nenulă a. î. să aibă loc relația: a\vec{MA}+b\vec{MB}=\vec{0}
    Apoi, dacă ai găsit o asemenea relație și schimbi în membrul I punctul M cu un punct oarecare O, membrul II se schimbă spectaculos: a\vec{OA}+b\vec{OB}=(a+b)\vec{OM}.
    Astfel putem determina vectorul de poziție în raport cu O al unui punct M dat prin raportul în care acesta împarte un segment orientat (A, B), în baza formată din vectorii OA și OB.

    Iată cum funcționează. Rescriu relația din problemă astfel: \frac{MB}{MC}=4, trec pe segmente orientate:
    \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}=-4 (minusul apare din cauza sensurilor contrare), apoi în scriere vectorială:
    \vec{MB}=-4\vec{MC}\Leftrightarrow\vec{MB}+4\vec{MC}=\vec{0}. Iată, a apărut perechea de numere (a, b)=(1, 4)
    Facem acum înlocuirea punctului M cu punctul B și culegem roadele: \vec{BB}+4\vec{BC}=(1+4)\vec{BM}, deci
    \vec{BM}=\frac{4}{5}\vec{BC}.
    N este mijlocul segmentului [AM], deci \vec{BN}=\frac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{BM})=\frac{1}{2}\vec{BA}+\frac{2}{5}\vec{BC} .
    În sfârșit, numărul k este pozitiv, fiind definit ca raportul a două lungimi. Vectorii care trebuie să apară în relația noastră sunt însă \vec{PA},\;\vec{PC}, de sensuri contrare, deci raportul segmentelor orientate corespunzătoare lor trebuie să aibă valoarea -k. Se obține relația \vec{PA}=-k\vec{PC}\Leftrightarrow\vec{PA}+k\vec{PC}=\vec{0}
    în care înlocuim punctul P cu punctul B: \vec{BA}+k\vec{BC}=(1+k)\vec{BP}\;sau\;\vec{BP}=\frac{1}{1+k}\vec{BA}+\frac{k}{1+k}\vec{BC}
    Pentru final, avem cordonatele vectorilor BN, BP în aceeași bază. Pentru ca punctele B, N, P să fie coliniare trebuie ca vectorii BN și BP să fie coliniari, deci coordonatele unuia să fie proporționale coordonatele celuilalt.
    \frac{1}{2}\div \frac{1}{1+k}=\frac{2}{5}\div \frac{k}{1+k}\Leftrightarrow \frac{1+k}{2}=\frac{2(1+k)}{5k}
    Se poate simplifica cu expresia nenulă 1+k și se obține k=4/5.

Raspunde

Raspunde