Home/ Intrebari/Q 93259
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

alind
Pe: 2022-09-28T06:24:57+03:00 In: In:

vectori

a este rezolvat

Attached files

Similare

3 raspunsuri

  1. alind

    clasa a 9-a

  2. red12dog34
    veteran (III)

    O rezolvare fără vectori.
    Mai întâi ducem DF\parallel AA', \ EG\parallel AA'
    Implicația MN\parallel AA'\Rightarrow DB=EC
    Dacă MN\parallel AA', atunci MN\parallel DF\parallel EG. Deci MN este linie mijlocie în trapezul DEGF și rezultă că N este mijlocul lui FG. Atunci BF=CG.
    Din asemănarea triunghiurilor BDF și BAA' rezultă \dfrac{BF}{BA'}=\dfrac{DB}{AB}
    Analog, din asemănarea triunghiurilor CEG și CAA' rezultă \dfrac{CG}{CA'}=\dfrac{EC}{AC}.
    Împărțind egalitățile de mai sus membru cu membru rezultă
    \dfrac{BF}{CG}\cdot\dfrac{CA'}{BA'}=\dfrac{DB}{EC}\cdot\dfrac{AC}{AB}
    Din teorema bisectoarei avem \dfrac{CA'}{BA'}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow \dfrac{BF}{CG}=\dfrac{DB}{EC}. Cum BF=CG, rezultă DB=EC.

    Cealaltă implicație. Presupunem DB=EC
    Folosind asemănările triunghiurilor de la prima implicație, făcând raportul egalităților și din ipoteză rezultă BF=CG. Atunci FN=CN deci MN este linie mijlocie în trapezul DEGC și este paralelă cu bazele, care sunt paralele cu AA'.

    Attached files

  4. ghioknt
    profesor

    Este ușor să reprezentăm vectorii \vec{DB},\;\vec{EC} în punctul A. Este suficient să luăm B’, C’ pe laturile [AB], respectiv [AC] a. î. AB’=DB, AC’=EC. Fie [AP] mediana triunghiului AB’C’. Atunci
    \vec{AP}=\frac{1}{2}(\vec{AB'}+\vec{AC'})=\frac{1}{2}(\vec{DB}+\vec{EC})=\vec{MN}
    Vectori egali, înseamnă că MN și AP au aceeași direcție, atâta doar că AP trece prin A. Și atunci
    MN||AA’ \Leftrightarrow mediana [AP] este și bisectoare în triunghiul AB’C’ \Leftrightarrow AB’=AC’, adică DB=CE.

Raspunde

Raspunde