numere complexe

Dacu post_id=113707 time=1615789615 user_id=23267 wrote:
Din

$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ și $z_1+z_2+z_3=1$ rezultă că cel puțin un număr complex este egal cu $1$ .

Poți explica cum anume rezultă? Nu mi-e foarte clar…

- 0
Raspunde

Dacu · Answer 9 · 2021-03-16T06:03:37+02:00

robi post_id=113710 time=1615841300 user_id=23269 wrote:
[quote=Dacu post_id=113707 time=1615789615 user_id=23267]
Din

$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ și $z_1+z_2+z_3=1$ rezultă că cel puțin un număr complex este egal cu $1$ .

Poți explica cum anume rezultă? Nu mi-e foarte clar…

În cazul general specificat de mine rezultă că $a+c+e=1$ , $b+d+f=0$ și $sqrt(a^2+b^2)=sqrt(c^2+d^2)=sqrt(e^2+f^2)=1$ .

Introducând relațiile $a+c+e=1$ , $b+d+f=0$ și $sqrt(a^2+b^2)=sqrt(c^2+d^2)=sqrt(e^2+f^2)=1$ într-un program de

calcul a rezultat faptul că cel puțin un număr compex trebuie să fie egal cu $1$ iar din răspunsul acelui program de calcul eu am ales ca

$z_1=1$ și deci au rezultat si numerele complexe $z_2$ și $z_3$ care au valori în funcție numărul real $c$ .Din acest

motiv am si pus întrebarea „Ce valoare are în aceste condiții suma $z_1^{2n+1}+z_2^{2n+1}+z_3^{2n+1}$ ?”….Cu acel program de calcul rezultă

că în aceste condiții $z_1^{2n+1}+z_2^{2n+1}+z_3^{2n+1}=1$ pentru orice $n\in \mathbb Z$ și $1-c^2\geq 0$

Concluzie:

Din postarea mea anterioară si din prezenta postare rezultă că mie mi se pare că nici enunțul problemei modificat de alind nu este clar mai ales

că la problema din cartea specificată de alind se dau șase răspunsuri posibile pentru suma puterilor acelor trei numere complexe …

Dacu · Answer 10 · 2021-03-16T06:43:00+02:00

alind post_id=113708 time=1615801909 user_id=21555 wrote: merci! super!

Se arată în acea carte , din care ai postat problema , faptul că cel puțin un număr complex trebuie să fie egal cu numarul real $1$ ? 💡

ghioknt · Answer 11 · 2021-03-16T11:16:22+02:00

Fie trei numere complexe cu $|z_1|=|z_2|=|z_3|=|z_1+z_2+z_3|$ și A, B, C. D imaginile celor 4 numere descrise ca având același modul r.
Pentru că originea O a sistemului de axe este și centrul cercului circumscris triunghiului ABC avem binecunoscuta relație
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ și tocmai pentru că O este și originea sistemului de axe, această relație, transpusă în numere complexe, ne spune că punctul D având afixul
$z_1+z_2+z_3$ este ortocentrul triunghiului ABC.
Să presupunem acum că D nu coincide cu niciunul dintre punctele A, B, C.
Este știut că dacă D este ortocentrul triunghiului ABC, atunci A este ortocentrul triunghiului DBC etc. Situația specială din această problemă este că centrul cercului circumscris triunghiului DBC este tot O, deci și aici putem conta pe faptul că suma afixelor vârfurilor D, B, C este afixul ortocentrului A:
$(z_1+z_2+z_3)+z_2+z_3=z_1,\;sau\;2(z_2+z_3)=0$ . Dar atunci $z_1+z_2+z_3=z_1$ , deci D coincide cu A, ceeace contrazice presupunerea făcută.
Așadar, în condițiile de mai sus, D coincide cu unul dintre cele 3 puncte, iar afixele celorlalte două sunt opuse, de exemplu
$z_3=-z_2$ . Dacă, în plus, se mai dă numărul $u=z_1+z_2+z_3$ , atunci
$z_1^{2n+1}+z_2^{2n+1}+z_3^{2n+1}=u^{2n+1}+z_2^{2n+1}-z_2^{2n+1}=u^{2n+1}$ .
În problema noastră avem u=1. Dacă am avea r=2 și suma numerelor ar fi u=2i, atunci răspunsul ar fi
$(2i)^{2n+1},\;adica\;2^{2n+1}i\;sau-2^{2n+1}i$ , după cum n ar fi par sau impar.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

numere complexe

Similare

11 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul