Se da o matrice patratica A, de 3×3, pe R. Se stie ca A^2018=O3 si ca exista B, tot matrice patratica de 3×3 pe R, cu prop ca A^2017B+BA=I3
Se dau 6 afirmatii:
a)A=A transpus
b)tr(A)=0
c)A^2=O3
d)A^3=O3
e)A^1009=O3
f)nu exista A
Care dintre acestea este adevarata?
Prima idee care mi-a venit a fost sa inmultesc A^2017B+BA=I3 la stanga cu A, obtinand ca ABA=A. Aplicand trace sau det nu am reusit sa ajung la niciu rezultat. Am mai observat din A^2018=O3 ca detA=0, dar nu vad la ce ar ajuta acest lucru.
Nu stiu cum as putea continua, sau daca sunt macar pe calea cea buna. Orice idee e bine-venita! Va multumesc pentru ajutor!
Din
deducem detA=0.
Înmulțim în (1) cu 
: 
Înmulțind-o acum cu 
obținem
, deci trA=0, de unde 
și la fel toate puterile lui A cu exponent 
, de unde (detB)(detA)=1, adică 0=1.
Relația lui Cayley se scrie atunci
Presupunem
Deci c=0 și relația lui Cayley devine
>3,inclusiv 2017. Atunci trebuie să admitem ca adevărată propoziția
Dar atunci cealaltă relație din ipoteză devine
În concluzie răspunsul pare să fie f).
Va multumesc pentru raspuns! Am gasit o rezolvare care duce la acelasi rezultat, folosind un rationament asemanator, „https://math.stackexchange.com/questions/197578/matrix-product-and-linear-independence?rq=1”.