Home/ Intrebari/Q 93144
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Menim
Pe: 2019-10-12T16:29:19+03:00 In: In:

Raport de l.c.i.-uri

Pe (1, 2), avem urmatoarea lege de compozitie interna:
x*y=\frac{3xy-4x-4y+6}{2xy-3x-3y+5}
Trebuie sa analizam daca este sau nu asociativa.

Primul lucru pe care l-am facut a fost sa o rescriu ca:
x*y=1+\frac{xy-x-y+1}{2(xy-x-y+1)-x-y+3}

Apoi m-am gandit la faptul ca -x-y+3 fiind asociativa, tot raportul este asociativ daca xy-x-y+1 este asociativa. Prin calcule am ajuns la concluzia ca xy-x-y+1 nu este asociativa. Este corect? Daca nu, exista o alta varianta in afara de a calcula pur si simplu (x*y)*z si x*(y*z)?

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Nu este corect, faci niște afirmații lipsite de sens. Dar da, există și altă posibilitate.
    Fie (G,\circ ) un grup și f:G–>f(G) o funcție injectivă. Evident f este și surjectivă, și notând f(G)=H, există funcția inversă f^{-1}:H\rightarrow G.
    Cu aceste funcții definim pe H legea de compoziție x\star y=f(f^{-1}(x)\circ f^{-1}(y))
    Nu e greu de arătat că (H, *) este grup izomorf cu grupul (G, o), deci, printre altele, operația * este asociativă, pentru că operația o este asociativă.
    Dacă mai insistai puțin, ai fi obținut x\star y=1+\frac{1}{1+\frac{(x-2)(y-2)}{(x-1)(y-1)}}
    Pentru G=(0, oo), H=(1, 2) se știe că (G,\cdot ) este grup, iar f:G\rightarrow H,\;f(t)=\frac{t+2}{t+1}=1+\frac{1}{t+1}
    este o funcție strict descrescătoare și surjectivă si are inversa f^{-1}:H\rightarrow G,\;f^{-1}(x)=\frac{1}{x-1}-1=\frac{2-x}{x-1}
    Atunci operația x\star y=f(f^{-1}(x)\cdot f^{-1}(y))=f\left ( \frac{(2-x)(2-y)}{(x-1)(y-1)} \right )=1+\frac{1}{1+\frac{(2-x)(2-y)}{(x-1)(y-1)}}
    adică tocmai operația noastră, este asociativă pentru că înmulțirea pe G este asociativă.

  2. Menim

    Mi se parea mie ca ar fi prea simplu si lipsit de sens sa fie adevarata ideea mea. Nu am facut inca (izo)morfisme la clasa, dar ma voi uita peste ele si voi reveni daca nu inteleg ceva din rezolvare. Multumesc!

Raspunde

Raspunde