Home/ Intrebari/Q 93111
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
maestru (V)
Pe: 2019-06-24T21:43:48+03:00 In: In:

de ce nu functionează

f_n:(0,00)->R,f_n (x)=x^n+ln x ,n din N.
Admitem ca ecuatia f_n (x)=2^n are solutia unica x_n.Aratati ca sirul x_n converge la 2.

Eu am incarcat urmatorul rationament, l-am observat in stilul de abordare a domnului profesor ghioknt,insa m-am blocat.

x_n=f^(-1) (2^n) ,iar din continuitatea functiei f^(-1) (00) iar aici raman blocat pentru ca de obicei era un numar finit.

Similare

4 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Relația corectă este x_n=f_n^{-1}(2^n), deci termenii șirului nu provin de la o singură funcție f așa cum scrii tu, ci fiecare este calculat cu ajutorul altei funcții.
    Avem f_n(1)=1,\;f_n(x_n)=2^n\;si\;f_n(2)=2^n+ln2,\;deci\;f_n(1)<f_n(x_n)<f_n(2) și cum funcțiile f_n sunt crescătoare, deducem 1<x_n<2, șir mărginit.
    Să considerăm și funcțiile g_n:[1;2]\to \mathbb{R},\;g_n(x)=x^n-2^n+\ln x. Putem spune atunci că, pentru orice n, x_n este soluția ecuației g_n(x)=0.
    g_{n+1}(x)<g_n(x)\Leftrightarrow x^{n+1}-2^{n+1}<x^n-2^n\Leftrightarrow x^n(x-1)<2^n
    ultima inegalitate fiind evident adevărată pentru orice x din intervalul (1, 2), deci și pentru x_n.
    Inegalitățile g_{n+1}(x_n)<g_n(x_n)=0,\;g_{n+1}(2)=\ln 2 >0 ne spun că ecuația g_{n+1}(x)=0
    are o soluție, pe x_{n+1} în intervalul (x_n;2), adică șirul nostru este crescător.
    \ln x_n=2^n-x_n^n=(2-x_n)\cdot n\alpha _n^{n-1}>(2-x_n)n,\;pentru \;ca\; 1<x_n<\alpha _n<2 (am aplicat
    teorema lui Lagrange pentru h(t)=t^n.
    Avem 0<2-x_n<\frac{\ln x_n}{n}<\frac{\ln 2}{n}, deci e clar ce limită are șirul nostru.

  2. grapefruit
    maestru (V)

    Daca functia nu ar depinde de n (familie de functii), atunci acest demers (al meu) este o metoda de abordare corecta?

    Si am si o o intrebare legata de rezolvare, de unde provine inegalitatea g_(n+1) (x)<g_n (x)

  4. ghioknt
    profesor

    Am spus de unde, Ea este echivalentă ( \Leftrightarrow ) cu ultima inegalitate care are loc pentru că x este
    în (1, 2), deci mai mic decât 2, iar x-1, în (0, 1).

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Pai dar nu este deloc natural ceea ce imi spuneti, ati scris o inegalitate (din palarie) pe care dupa calcule se dovedeste a fi adevarata.Dupa parerea mea, natural este sa scriem o inegalitate care reiese dintr o interpretare a problemei ,sa zicem, o exploatam si ne folosim in final de rezultatul exploatat ;nu invers in care ne exploatam de inegalitate si despre care nu stim nimic apriori.Adica mi se pare ca practic stiu ce trebuie sa demonstrez si ma chinui sa potrivesc lucrurile si sa iasa ce vreau

Raspunde

Raspunde