Home/ Intrebari/Q 93066
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

AnaMaria2323
Pe: 2019-04-17T18:05:18+03:00 In: In:

Sa se rezolve ecuatia

Sa se rezolve ecuatia. Multumesc mult!
sin^{3}x + cos^{3}x = 1

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    A rezolva ecuația sin^3x+cos^3x=1 înseamnă a rezolva sistemul
    \begin {cases}\sin^3x+\cos^3x=1\\\sin^2x+\cos^2x=1 \end{cases}
    care este un sistem simetric în sinx și cosx. Cu substituțiile sinx+cosx=s, sinxcosx=p se ajunge la sistemul
    \begin {cases}s^3-3ps=1\\s^2-2p=1 \end{cases}
    și, în final, la rezolvarea (în R) a ecuației 5s^3-3s-2=0,\;sau\;(s-1)(5s^2+5s+2)=0
    care are doar soluția s=1, din care se obține p=0, adică sinxcosx=0.
    Avem fie sinx=0 și cosx=1, fie cosx=0 și sinx=1. În ambele cazuri există câte un singur număr în intervalul 0; 2pi) care este soluția sistemului respectiv, 0, respectiv \frac{\pi}{2}. Ținând cont de periodicitatea funcțiilor sin și cos,
    soluția generală a ecuației se poate scrie \left \{ 2k\pi |k\in \mathbb{Z} \right \}\cup \left \{ \frac{\pi }{2}+2k\pi |k\in \mathbb{Z} \right \}.

Raspunde

Raspunde