Home/ Intrebari/Q 92970
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Robert Stanciu
Pe: 2019-01-04T18:25:51+02:00 In: In:

Parte fracționară

Buna seara! Mă puteți ajuta cu aceasta problema, va rog? Mulțumesc!

Să se calculeze partea fracționară a numărului (1+√3)^2018.

Similare

3 raspunsuri

  1. Integrator
    maestru (V)

    Robert Stanciu post_id=112640 time=1546626351 user_id=22477 wrote:
    Buna seara! Mă puteți ajuta cu aceasta problema, va rog? Mulțumesc!

    Să se calculeze partea fracționară a numărului (1+√3)^2018.


    Bună dimineața,

    \{(1+\sqrt3)^{2018}\}=\{(C_{2018}^1+C_{2018}^3+\dots +C_{2018}^{2015}+C_{2018}^{2017})\cdot \{\sqrt3\}\}….
    ––––––––––––
    Din ce carte este problema aceasta?

    Toate cele bune,

    Integrator

  2. ghioknt
    profesor

    În dezvoltarea binomului (1+\sqrt{3})^{2018} toți termenii sunt pozitivi. În schimb, în dezvoltarea lui
    (1-\sqrt{3})^{2018} sunt negativi termenii in care \sqrt{3} au exponenți impari, adică exact
    termenii iraționali. Deducem că (1+\sqrt{3})^{2018}+(1-\sqrt{3})^{2018} este un număr întreg.
    Atunci \{(1+\sqrt{3})^{2018}\}+\{(1-\sqrt{3})^{2018}\}=1 sau \{(1+\sqrt{3})^{2018}\}=1-\{(1-\sqrt{3})^{2018}\}.
    Dar \sqrt{3}-1 este un număr pozitiv și subunitar și dacă ținem cont și de exponentul par, avem
    0<(1-\sqrt{3})^{20018}=(\sqrt{3}-1)^{2018}<\sqrt{3}-1<1, deci \{(1-\sqrt{3})^{2018}\}=(1-\sqrt{3})^{2018}.
    În concluzie \{(1+\sqrt{3})^{2018}\}=1-(1-\sqrt{3})^{2018}

  4. Integrator
    maestru (V)

    ghioknt post_id=112652 time=1546786584 user_id=18683 wrote:
    În dezvoltarea binomului (1+\sqrt{3})^{2018} toți termenii sunt pozitivi. În schimb, în dezvoltarea lui
    (1-\sqrt{3})^{2018} sunt negativi termenii in care \sqrt{3} au exponenți impari, adică exact
    termenii iraționali. Deducem că (1+\sqrt{3})^{2018}+(1-\sqrt{3})^{2018} este un număr întreg.
    Atunci \{(1+\sqrt{3})^{2018}\}+\{(1-\sqrt{3})^{2018}\}=1 sau \{(1+\sqrt{3})^{2018}\}=1-\{(1-\sqrt{3})^{2018}\}.
    Dar \sqrt{3}-1 este un număr pozitiv și subunitar și dacă ținem cont și de exponentul par, avem
    0<(1-\sqrt{3})^{2018}=(\sqrt{3}-1)^{2018}<\sqrt{3}-1<1, deci \{(1-\sqrt{3})^{2018}\}=(1-\sqrt{3})^{2018}.
    În concluzie \{(1+\sqrt{3})^{2018}\}=1-(1-\sqrt{3})^{2018}


    Bună seara și La mulți Ani!

    Foarte frumoasă rezolvare!
    –––––––––––––––––––
    Eu am încercat o cale mai complicată de rezolvare cu ajutorul binomului lui Newton……..și răspunsul meu de mai sus conține și o eroare (deși pe caietul meu am scris corect) și deci în loc de \{(1+\sqrt3)^{2018}\}=\{(C_{2018}^1+C_{2018}^3+\dots +C_{2018}^{2015}+C_{2018}^{2017})\cdot \{\sqrt3\}\} se va citi \{(1+\sqrt3)^{2018}\}=\{(C_{2018}^1+3C_{2018}^3+\dots +3^{1007}C_{2018}^{2015}+3^{1008}C_{2018}^{2017})\cdot \{\sqrt3\}\}….Cum s-ar putea calcula suma S=C_{2018}^1+3C_{2018}^3+\dots +3^{1007}C_{2018}^{2015}+3^{1008}C_{2018}^{2017}?Mulțumesc mult!
    De aceea am și cerut să se specifice cartea din care face parte problema propusă pentru că nu știam cum să calculez suma S=C_{2018}^1+3C_{2018}^3+\dots +3^{1007}C_{2018}^{2015}+3^{1008}C_{2018}^{2017}.

    Cu deosebită stimă,

    Integrator

Raspunde

Raspunde