Home/ Intrebari/Q 92878
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

aronpetrov
Pe: 2018-10-20T17:20:47+03:00 In: In:

Probleme trigonometrie UTCN

Buna seara!Am mare nevoie de ajutor in legatura cu urmatoarele probleme:
1)2a\cdot sin^2x-2sinxcosx=a-\sqrt{3}
Multimea valorilor lui a pentru care ecuatia are solutii reale este?
2)Inversa functiei f:[pi/2,3pi/2]->[-1,1], f(x)=sin(x) este…?(Stiu ca domeniul functiei arcsinus este [-pi/2,pi/2], dar nu stiu exact cum sa procedez…)
3)f(x)=cos^{2n}x+sin^{2n}x,n\epsilon \mathbb{N},n\geq 2
Multimea valorilor functiei f este…?
4)Sn(x)=sinx+sin2x+...+sin(nx).Sn(x)=?, x\neq 2pi\mathbb{Z}
5)Numarul de solutii in intervalul [0,pi] ale ec=?
\sqrt{sinx+\sqrt{sinx+cosx}}=cosx
(Am observat solutia pi/2, dar oare nu mai sunt si altele?)

Similare

6 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    aronpetrov post_id=112289 time=1540056047 user_id=22923 wrote:
    Buna seara!Am mare nevoie de ajutor in legatura cu urmatoarele probleme:
    1)2a\cdot sin^2x-2sinxcosx=a-\sqrt{3}
    Multimea valorilor lui a pentru care ecuatia are solutii reale este?

    2a\cdot sin^2x-2sinxcosx=a-\sqrt{3}\Leftrightarrow a(1-\cos 2x)-\sin 2x=a-\sqrt{3}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow a\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{3}.
    Această ecuație liniară are soluții dacă și numai dacă a^2+1^2\leq (\sqrt{3})^2\Leftrightarrow a^2\leq 2\Leftrightarrow a\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}].

  2. ghioknt
    profesor

    aronpetrov post_id=112289 time=1540056047 user_id=22923 wrote:
    2)Inversa functiei f:[pi/2,3pi/2]->[-1,1], f(x)=sin(x) este…?(Stiu ca domeniul functiei arcsinus este [-pi/2,pi/2], dar nu stiu exact cum sa procedez…)

    Corect era să spui: mulțimea valorilor funcției arcsin este [-pi/2; pi/2]; sau: domeniul pe care se inversează funcția sin pentru a obține funcția numită arcsinus este [-pi/2; pi/2].
    Funcția din această problemă este și ea inversabilă pentru că este strict descrescătoare pe [pi/2; 3pi/2], deci injectivă și, pe acest inteval, parcurge toate valorile dela 1 la -1, deci este și surjectivă.
    Concret, pentru orice y din [-1; 1] \sin x=y\Leftrightarrow \sin (x-\pi )=-y.
    Dar acum x-\pi \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi }{2}], deci putem scrie x-\pi =arcsin(-y),\;x=\pi -arcsiny.
    Avem f^{-1}:[-1;1]\to [\frac{\pi}{2};\frac{3\pi }{2}],\;f^{-1}(x)=\pi -arcsin x.

  4. ghioknt
    profesor

    aronpetrov post_id=112289 time=1540056047 user_id=22923 wrote:
    3)f(x)=cos^{2n}x+sin^{2n}x,n\epsilon \mathbb{N},n\geq 2
    Multimea valorilor functiei f este…?

    Inegalitatea \cos^{2n} x+\sin^{2n}x\leq (\cos^2 x+\sin^2x)^n este evidentă, pentru că în membrul stâng lipsește cel puțin un termen (pozitiv) al dezvoltării binomului din membrul drept.
    Deci f(x)\leq 1, iar egalitatea are loc în 0. de exemplu.
    Pentru aflarea minimului poți folosi inegalitatea Jensen \frac{h(x_1)+h(x_2)}{2}\leq h\left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right ) pentru funcția concavă h(x)=\sqrt[n]{x},\;x_1=\cos^{2n} x,\;x_2=\sin^{2n} x.
    \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{2}\leq \sqrt[n]{\frac{\cos^{2n} x+\sin^{2n} x}{2}}\; din \;care\;\frac{1}{2^{n-1}}\leq f(x), egalitatea având loc în pi/4.
    Desigur, cele două valori extreme le poți afla și studiind cu ajutorul derivatei variația funcției f pe intervalul [0; pi/2], după ce observi că perioada principală a lui f este pi/2.

  5. aronpetrov

    Multumesc enorm!

  6. ghioknt
    profesor

    aronpetrov post_id=112289 time=1540056047 user_id=22923 wrote:
    4)Sn(x)=sinx+sin2x+...+sin(nx).Sn(x)=?, x\neq 2pi\mathbb{Z}

    Cea mai directă metodă este să calculezi 2\sin\frac{x}{2}\cdot S_n(x) și să folosești consecvent identitatea
    2\sin a\sin b=\cos (b-a)-\cos(b+a).
    2\sin\frac{x}{2}\cdot S_n(x)=\cos (x-\frac{x}{2})-\cos (x+\frac{x}{2})+\cos (2x-\frac{x}{2})-\cos (2x+\frac{x}{2})+...+\cos (nx-\frac{x}{2})-\cos (nx+\frac{x}{2})=
    =\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}+...+\cos \frac{(2n-1)x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}=\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}=
    =2\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2},\;deci\;S_n(x)=\frac{\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}.
    Am mai folosit identitatea \cos a-\cos b=2\sin \frac{b-a}{2}\sin \frac{b+a}{2}.

  8. ghioknt
    profesor

    aronpetrov post_id=112289 time=1540056047 user_id=22923 wrote:
    5)Numarul de solutii in intervalul [0,pi] ale ec=?
    \sqrt{sinx+\sqrt{sinx+cosx}}=cosx
    (Am observat solutia pi/2, dar oare nu mai sunt si altele?)

    În încheiere voi observa că ecuația nu poate avea soluții în intervalul (pi/2; pi] pentru că pe acest interval cosinusul ia valori negative, în timp ce radicalul din membrul stâng are doar valori nenegative.
    Pe intervalul [0; pi/2] expresia \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi}{4}+x) își atinge valoarea minimă
    în 0 și în pi/2, și această valoare minimă este 1. Asta înseamnă că membrul stâng are numai valori >=1, în timp ce membrul drept are valori în [0; 1]. În concluzie, egalitatea poate avea loc numai dacă ambii membri pot lua simultan valoarea 1, ceeace se întâmplă doar pentru x=0, singura soluție a ecuației.

Raspunde

Raspunde