Determinanti

Question

Felixxveteran (III)

Pe: 29 august 20182018-08-29T09:29:17+03:00 2018-08-29T09:29:17+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Determinanti

Fie determinantul:

$\Delta _{n}^{i}=\begin{vmatrix} 1 &1 &... &1 \\ a_{1}&a_{2} &... &a_{n} \\ ... & & & \\ a_{1}^{i-1}&a_{2}^{i-1} &... &a_{n}^{i-1} \\ a_{1}^{i+1}&a_{2}^{i+1} &... &a_{n}^{i+1} \\ ...& & & \\ a_{1}^{n}& a_{2}^{n} &... & a_{n}^{n} \end{vmatrix}$

unde $0\leq i\leq n,n\in \mathbb{N}$
Sa se calculeze suma:
$\sum_{i=0}^{3}\Delta _{3}^{i}$

a) $\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

b) $a_{1}+a_{2}+a_{3}$

c) $\left ( a_{1}+a_{2}+a_{3} \right )\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

d) $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3} +a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3} )\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

e) $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3} +a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{3} )( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

f) $a_{1}-a_{2}+a_{3}$
………………………………………………………………………………………..
Ma puteti ajuta cu un mic detaliu legat de scrierea acestui determinant ?
Avem de calculat acea suma.In scrierea initiala din enunt lipseste linia care il contine pe $a_{1}^{i},a_{2}^{i}...,a_{n}^{i}$ pentru ca determinantul sa fie de ordinul n. Avem de calculat suma din $\Delta _{3}^{i}$ ,cand i ia valori de la 0 la 3,deci e clar ca determinantul este de ordinul 3.Cand calculam suma din enunt unde inlocuim pe i tinand cont ca determinantul are 3 linii si 3 coloane ?Aici nu inteleg eu : cand punem pe i=0 , cine este $a_{k}^{i-1}$ . Nu sunt sigur, dar parca problema nu este definita corect.
Puteti sa-mi spuneti cine este $\Delta _{3}^{0},\Delta _{3}^{1},\Delta _{3}^{2},\Delta _{3}^{3}$ ?
Nu stiu daca am fost destul de explicit.Multumesc.

10 raspunsuri

Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul

Integrator · Answer 1 · 2018-08-30T05:02:07+03:00

Felixx post_id=112087 time=1535534957 user_id=21270 wrote:
Fie determinantul:

$\Delta _{n}^{i}=\begin{vmatrix} 1 &1 &... &1 \\ a_{1}&a_{2} &... &a_{n} \\ ... & & & \\ a_{1}^{i-1}&a_{2}^{i-1} &... &a_{n}^{i-1} \\ a_{1}^{i+1}&a_{2}^{i+1} &... &a_{n}^{i+1} \\ ...& & & \\ a_{1}^{n}& a_{2}^{n} &... & a_{n}^{n} \end{vmatrix}$

unde $0\leq i\leq n,n\in \mathbb{N}$
Sa se calculeze suma:
$\sum_{i=0}^{3}\Delta _{3}^{i}$

a) $\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

b) $a_{1}+a_{2}+a_{3}$

c) $\left ( a_{1}+a_{2}+a_{3} \right )\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

d) $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3} +a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3} )\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

e) $\left ( 1+a_{1}+a_{2}+a_{3} +a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{3} )( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )$

f) $a_{1}-a_{2}+a_{3}$
………………………………………………………………………………………..
Ma puteti ajuta cu un mic detaliu legat de scrierea acestui determinant ?
Avem de calculat acea suma.In scrierea initiala din enunt lipseste linia care il contine pe $a_{1}^{i},a_{2}^{i}...,a_{n}^{i}$ pentru ca determinantul sa fie de ordinul n. Avem de calculat suma din $\Delta _{3}^{i}$ ,cand i ia valori de la 0 la 3,deci e clar ca determinantul este de ordinul 3.Cand calculam suma din enunt unde inlocuim pe i tinand cont ca determinantul are 3 linii si 3 coloane ?Aici nu inteleg eu : cand punem pe i=0 , cine este $a_{k}^{i-1}$ . Nu sunt sigur, dar parca problema nu este definita corect.
Puteti sa-mi spuneti cine este $\Delta _{3}^{0},\Delta _{3}^{1},\Delta _{3}^{2},\Delta _{3}^{3}$ ?
Nu stiu daca am fost destul de explicit.Multumesc.

Bună dimineața,

Din câte știu eu , un determinat are întodeauna numărul de linii egal cu numărul de coloane….Câte linii și câte coloane are așa zisul determinant $\Delta^i_{n}$ ?
–––––––––-
De unde este problema?Mulțumesc!

Toate cele bune,

Integrator

Felixx · Answer 2 · 2018-08-30T08:17:48+03:00

Domnule Integrator,cred ca am precizat mai sus cate linii si cate coloane are determinantul.La fel am spus ce imi este neclar si o mica concluzie a mea.De aceea am postat-o , nu pentru calculul determinantului.Daca puteti sa-mi raspundeti, o puteti face,dar va rog fara o mie de intrebari „ca la securitate”.
Multumesc.

Integrator · Answer 3 · 2018-08-30T16:02:14+03:00

Felixx post_id=112092 time=1535617068 user_id=21270 wrote:
Domnule Integrator,cred ca am precizat mai sus cate linii si cate coloane are determinantul.La fel am spus ce imi este neclar si o mica concluzie a mea.De aceea am postat-o , nu pentru calculul determinantului.Daca puteti sa-mi raspundeti, o puteti face,dar va rog fara o mie de intrebari „ca la securitate”.
Multumesc.

Bună ziua,

Dacă scriați că enunțul este greșit și este într-adevăr greșit pentru că în determinantul $\Delta^i_{n}$ lipsește linia cu $a^i_{k}$ , atunci eu nu mai puneam acea întrebare….
––––––––––––
O idee:
Pentru $\Delta^0_{3}$ prima linie este $1,1,1$ linia doua este formată din elementele $a^1_{k}$ și linia a treia este formată din elementele $a^2_{k}$ unde $1\leq k\leq 3$ .În mod identic raționăm și pentru ceilalți determinanți de ordinul $3$ .Cu acești determinanti mie îmi rezulta altă sumă decât cele propuse…..

Numai bine,

Integrator

Felixx · Answer 4 · 2018-08-30T17:48:28+03:00

Integrator post_id=112094 time=1535644934 user_id=14570 wrote:
[quote=Felixx post_id=112092 time=1535617068 user_id=21270]
Domnule Integrator,cred ca am precizat mai sus cate linii si cate coloane are determinantul.La fel am spus ce imi este neclar si o mica concluzie a mea.De aceea am postat-o , nu pentru calculul determinantului.Daca puteti sa-mi raspundeti, o puteti face,dar va rog fara o mie de intrebari „ca la securitate”.
Multumesc.

Bună ziua,

Dacă scriați că enunțul este greșit și este într-adevăr greșit pentru că în determinantul $\Delta^i_{n}$ lipsește linia cu $a^i_{k}$ , atunci eu nu mai puneam acea întrebare….
––––––––––––
O idee:
Pentru $\Delta^0_{3}$ prima linie este $1,1,1$ linia doua este formată din elementele $a^1_{k}$ și linia a treia este formată din elementele $a^2_{k}$ unde $1\leq k\leq 3$ .În mod identic raționăm și pentru ceilalți determinanți de ordinul $3$ .Cu acești determinanti mie îmi rezulta altă sumă decât cele propuse…..

Numai bine,

Integrator

Domnule Integrator ,ati spus ca in determinantul $\Delta _{n}^{i}$ lipseste linia care contine pe $a_{k}^{i}$ .Daca o introducem si $0\leq i\leq n$ ,atunci cate linii va avea determinantul ? Ori acelasi determinant ,eu vad ca are n coloane? Cum putem calcula atunci un determinant cu (n+1) linii si n coloane ? Acum mai sunteti asa de sigur ca determinantul este scris gresit ?
Poate mai auzim si alte pareri ?
Este totusi o problema de examen, sa fie enuntul gresit? Parca n-as crede asta !
Multumesc.

ghioknt · Answer 5 · 2018-08-30T20:29:15+03:00

Determinantul $\Delta _n^i$ are n coloane, iar pe fiecare coloană apar n termeni aleși dintre cei n+1 ai progresiei geometrice $1,\;a_k,\;a_k^2,...,a_k^n$ . Indicele superior, i, ne spune care termen al fiecărei progresii lipsește, și anume cel în care rația are exponentul i. Așadar în $\Delta _n^0$ nu apare linia 1, 1, …, 1.
Răspunsul corect mi se pare a fi e).

Felixx · Answer 6 · 2018-08-31T02:54:02+03:00

Dupa felul cum este dat determinantul $\Delta _{n}^{i}$ in enunt,se observa ca lipseste linia $a_{1}^{i},a_{2}^{i},...,a_{n}^{i}$
Prin urmare in determinantul $\Delta _{3}^{0}$ va lipsi linia $a_{1}^{0}=1,a_{2}^{0}=1,a_{3}^{0}=1$ .
In determinantul $\Delta _{3}^{1}$ va lipsi linia $a_{1}^{1},a_{2}^{1},a_{3}^{1}$ si asa mai departe…
Prin urmare :
$\Delta _{3}^{0}=\begin{vmatrix} a_{1} &a_{2} &a_{3} \\ a_{1}^{2}&a_{2}^{2} &a_{3}^{2} \\ a_{1}^{3}&a_{2}^{3} &a_{3}^{3} \end{vmatrix}=a_{1}a_{2}a_{3}\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )$
Apoi:
$\Delta _{3}^{1}=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ a_{1}^{2} &a_{2}^{2} &a_{3}^{2} \\ a_{1}^{3}&a_{2}^{3} &a_{3}^{3} \end{vmatrix}=\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{2}a_{3} \right )$
si
$\Delta _{3}^{2}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ a_{1}&a_{2} &a_{3} \\ a_{1}^{3}&a_{2}^{3} &a_{3}^{3} \end{vmatrix}=\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )\left ( a_{1}+a_{2}+a_{3} \right )$
si
$\Delta _{3}^{3}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ a_{1}&a_{2} &a_{3} \\ a_{1}^{2} &a_{2}^{2} &a_{3}^{2} \end{vmatrix}=\left ( a_{2}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{1} \right )\left ( a_{3}-a_{2} \right )$
Facand suma lor obtinem intradevar raspunsul f)
Concluzie: Forma in care este dat acest determinant este o ” capcana ” in care au cazut multi.
Prin urmare domnule Integrator ,enuntul problemei este foarte corect,imi pare rau pentru dvs. ca ati cazut in aceasta capcana !
Multumiri domnului ghioknt.

Integrator · Answer 7 · 2018-08-31T06:13:53+03:00

Felixx post_id=112087 time=1535534957 user_id=21270 wrote:
Fie determinantul:

$\Delta _{n}^{i}=\begin{vmatrix} 1 &1 &... &1 \\ a_{1}&a_{2} &... &a_{n} \\ ... & & & \\ a_{1}^{i-1}&a_{2}^{i-1} &... &a_{n}^{i-1} \\ a_{1}^{i+1}&a_{2}^{i+1} &... &a_{n}^{i+1} \\ ...& & & \\ a_{1}^{n}& a_{2}^{n} &... & a_{n}^{n} \end{vmatrix}$

Bună dimineața,

Am copiat acest determinant și l-am lipit pe „tex-ul” altui forum și unde se vede clar că prima linie are toate elementele egale cu $1$ ceea ce nu se observă pe acest forum din cauză că „tex-ul” de pe acest forum nu spațiază suficient de bine liniile și astfel se poate crede că prima linie are elementele de forma $a^1_{k}$ .Cred că ar trebui ca „tex-ul” de pe acest forum să fie refăcut astfel încât să nu apară situații neclare…Dacă prima linie are toate elementele egale cu $1$ atunci este clar că acel determinant are $n$ linii și $n$ coloane…Am fost indus în eroare de „tex-ul” de pe acest forum…capcana a fost acest „tex” de pe acest forum…Dacă ați fi spus care este sursa problemei sau eventual dădeați o copie a problemei atunci altul era raționamentul meu…

Numai bine,

Integrator

Felixx · Answer 8 · 2018-08-31T09:52:47+03:00

Integrator post_id=112099 time=1535696033 user_id=14570 wrote:
[quote=Felixx post_id=112087 time=1535534957 user_id=21270]
Fie determinantul:

$\Delta _{n}^{i}=\begin{vmatrix} 1 &1 &... &1 \\ a_{1}&a_{2} &... &a_{n} \\ ... & & & \\ a_{1}^{i-1}&a_{2}^{i-1} &... &a_{n}^{i-1} \\ a_{1}^{i+1}&a_{2}^{i+1} &... &a_{n}^{i+1} \\ ...& & & \\ a_{1}^{n}& a_{2}^{n} &... & a_{n}^{n} \end{vmatrix}$

Bună dimineața,

Am copiat acest determinant și l-am lipit pe „tex-ul” altui forum și unde se vede clar că prima linie are toate elementele egale cu $1$ ceea ce nu se observă pe acest forum din cauză că „tex-ul” de pe acest forum nu spațiază suficient de bine liniile și astfel se poate crede că prima linie are elementele de forma $a^1_{k}$ .Cred că ar trebui ca „tex-ul” de pe acest forum să fie refăcut astfel încât să nu apară situații neclare…Dacă prima linie are toate elementele egale cu $1$ atunci este clar că acel determinant are $n$ linii și $n$ coloane…Am fost indus în eroare de „tex-ul” de pe acest forum…capcana a fost acest „tex” de pe acest forum…Dacă ați fi spus care este sursa problemei sau eventual dădeați o copie a problemei atunci altul era raționamentul meu…

Numai bine,

Integrator

Domnule Integrator, imi pare rau ca trebuie sa va spun.Nu stiti sa cedati ,cu oricine ati discuta pe acest site. Cititi cu atentie ce ati scris dvs. in toate postarile pe acest topic si ce incercam eu sa va explic , unde gresiti … Si acum spuneti ca de fapt ca „tex” este de vina 🙂, fiindca el, „tex” v-a dus in eroare , deoarece tot el,”tex” a „ascuns” linia 1,1,1…1.
Doamne ajuta!

Integrator · Answer 9 · 2018-09-01T04:41:00+03:00

Felixx post_id=112100 time=1535709167 user_id=21270 wrote:
[quote=Integrator post_id=112099 time=1535696033 user_id=14570]
[quote=Felixx post_id=112087 time=1535534957 user_id=21270]
Fie determinantul:

$\Delta _{n}^{i}=\begin{vmatrix} 1 &1 &... &1 \\ a_{1}&a_{2} &... &a_{n} \\ ... & & & \\ a_{1}^{i-1}&a_{2}^{i-1} &... &a_{n}^{i-1} \\ a_{1}^{i+1}&a_{2}^{i+1} &... &a_{n}^{i+1} \\ ...& & & \\ a_{1}^{n}& a_{2}^{n} &... & a_{n}^{n} \end{vmatrix}$

Bună dimineața,

Am copiat acest determinant și l-am lipit pe „tex-ul” altui forum și unde se vede clar că prima linie are toate elementele egale cu $1$ ceea ce nu se observă pe acest forum din cauză că „tex-ul” de pe acest forum nu spațiază suficient de bine liniile și astfel se poate crede că prima linie are elementele de forma $a^1_{k}$ .Cred că ar trebui ca „tex-ul” de pe acest forum să fie refăcut astfel încât să nu apară situații neclare…Dacă prima linie are toate elementele egale cu $1$ atunci este clar că acel determinant are $n$ linii și $n$ coloane…Am fost indus în eroare de „tex-ul” de pe acest forum…capcana a fost acest „tex” de pe acest forum…Dacă ați fi spus care este sursa problemei sau eventual dădeați o copie a problemei atunci altul era raționamentul meu…

Numai bine,

Integrator

Domnule Integrator, imi pare rau ca trebuie sa va spun.Nu stiti sa cedati ,cu oricine ati discuta pe acest site. Cititi cu atentie ce ati scris dvs. in toate postarile pe acest topic si ce incercam eu sa va explic , unde gresiti … Si acum spuneti ca de fapt ca „tex” este de vina 🙂, fiindca el, „tex” v-a dus in eroare , deoarece tot el,”tex” a „ascuns” linia 1,1,1…1.
Doamne ajuta!

Bună dimineața,

😳 Aveți dreptate!Mii de scuze! 😳 Am scris acum cu „tex-ul” de aici a^1_{1} și se vede clar că $a^1_{1}$ nu seamănă cu ceea ce eu am presupus a fi și deci prima linie are toate elementele egale cu $1$ .Mii de scuze!Nu vreau să invoc scuza că având o vârstă trecută binișor de jumătatea vârstei îngăduită de Dumnezeu și am să încerc să fiu mai atent la scrierea cu „tex-ul” de pe acest forum , la enunțurile problemelor și la ceea ce zic unii și alți utilizatori…Mi de scuze!Știu ce-am scris și repet că am fost derutat de lipsa de spațiere specificată de „tex-ul” de aici iar cu alt „tex” de pe un alt forum se vede clar că prima linie are toate elementele egale cu $1$ .Ieri când am lipit determinantul scris de Dvs. (cu tex-ul din acest forum) în „tex-ul” de pe alt forum se vedea clar că prima linie are toate elementele egale cu $1$ .
––––––––––––––
Este foarte adevărat că au fost câteva cazuri când nu am cedat și nu am cedat deoarece nici utilizatorii respectivi nu m-au convins că eu greșesc…A se vedea de exemplu problema „Să se rezolve inecuația $x^2+2ix+3<0$ unde $i^2=-1$ ” și acele sisteme de ecuații diferențiale , propuse de mine spre rezolvare și care păreau a fi ciudate……
Vă rog să încercați să scrieți pe alt forum care are un „tex” acel determinant și să o comparați cu imaginea determinantului de pe acest forum și o să-mi dați dreptate….

Dumnezeu să vă ajute și să vă binecuvânteze!Amin!

Numai bine,

Integrator

ghioknt · Answer 10 · 2018-09-01T21:36:43+03:00

Iată și o altă abordare care permite și o generalizare facilă.
Se știe că un determinant Vandermonde de ordinul n este acela care conține pe fiecare coloană termeni în progresie geometrică, primul termen fiind 1: $1,\;q,\;q^2,..., q^{n-1}$ . Astfel
$V_4(-1,a_1,a_2,a_3)=\left(\begin{matrix}1&1&1&1\\-1&a_1&a_2&a_3\\1&a_1^2&a_2^2&a_3^2\\-1&a_1^3&a_2^3&a_3^3 \end{matrix} \right )=(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)V_3(a_1,a_2,a_3)$
Pe de altă parte, dezvoltând dupa prima coloană:
$\sum_{i=0}^{4}\Delta _3^i=(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)V_3(a_1,a_2,a_3)$ , adică răspunsul e).
Generalizare: $\sum_{i=0}^{n}\Delta _n^i=(a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1)V_n(a_1,a_2,...,a_n)$ .

Revin: sper ca e clar că pe prima coloana scriu progresia geometrică cu rația -1.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Determinanti

Similare

10 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul