Home/ Intrebari/Q 92791
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felixx
veteran (III)
Pe: 2018-07-12T23:15:35+03:00 In: In:

Polinoame

Fie P\in \mathbb{R}\left [ X \right ] polinomul de grad minim care satisface simultan conditiile:
(i)P\left ( X \right )+1 este divizibil cu \left ( X-1 \right )^{3}
(ii)P\left ( X \right )-1 este divizibil cu \left ( X+1 \right )^{3}
Sa se calculeze P(0).
a)1 b)-1 c)0 d)2017 e)-2017 f)2

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Cele două polinoame admit pe 1, respectiv pe -1, ca rădăcini triple, deci derivatele lor – ca rădăcini duble. Asta înseamnă de fapt că 1 și -1 sunt rădăcini duble pentru P’: P'(X)=(X^2-1)^2Q(X).
    Q(X) trebuie luat de grad cât mai mic, așa că voi lua pentru început Q(X)=a.
    Din P'(X)=a(X^2-1)^2\Rightarrow P(X)=\frac{a}{5}X^5-\frac{2a}{3}X^3+aX+b, deci P(0) ar fi b.
    Din sistemul P(1)+1=0, P(-1)-1=0 se află b=0, a=-15/8.

  2. Felixx
    veteran (III)

    ghioknt post_id=111796 time=1531515102 user_id=18683 wrote:
    Cele două polinoame admit pe 1, respectiv pe -1, ca rădăcini triple, deci derivatele lor – ca rădăcini duble. Asta înseamnă de fapt că 1 și -1 sunt rădăcini duble pentru P’: P'(X)=(X^2-1)^2Q(X).
    Q(X) trebuie luat de grad cât mai mic, așa că voi lua pentru început Q(X)=a.
    Din P'(X)=a(X^2-1)^2\Rightarrow P(X)=\frac{a}{5}X^5-\frac{2a}{3}X^3+aX+b, deci P(0) ar fi b.
    Din sistemul P(1)+1=0, P(-1)-1=0 se află b=0, a=-15/8.


    Frumoasa problema si rationament pe masura! M-ati scos din impas.
    Multumesc mult,domnule profesor ghioknt.
    Ca verificare:
    \left ( -\frac{3}{8}X^{5}+\frac{5}{4}X^{3}-\frac{15}{8}X+1 \right )\div \left ( X-1 \right )^{3}=-\frac{1}{8}\left ( 3X^{2}+9X+8 \right )
    si
    \left ( -\frac{3}{8}X^{5}+\frac{5}{4}X^{3}-\frac{15}{8}X-1 \right )\div \left ( X+1 \right )^{3}=-\frac{1}{8}\left ( 3X^{2}-9X+8 \right )

  4. ghioknt
    profesor

    Mă bucur că ți-a plăcut!

Raspunde

Raspunde