UTCN 1211

Dacă ai ideea să aplici teorema lui Lagrange funcției $f(x)=\sqrt{x}$ pe intervalele [k-1; k] si [k; k+1] obții, ținând cont de monotonia derivatei, f(k+1)-f(k)<f'(k)<f(k)-f(k-1), $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})<\frac{1}{\sqrt{k}}<2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$
Însumând,după k de la 1 la n, și adunând ce este de adunat se ajunge la
$2\sqrt{n+1}-2-a_n\sqrt{n}<x_n<2\sqrt{n}-a_n\sqrt{n}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}-2+(2-a_n)\sqrt{n}<x_n<(2-a_n)\sqrt{n}$
Dacă $(a_n)$ ar avea o limită l<2, atunci inegalitatea din stânga ar spune că $(x_n)$ ar avea limita +oo;
Dacă ar avea o limită l>2, atunci inegalitatea din dreapta ar spune că $(x_n)$ ar avea limita -oo. În ambele situații s-ar contrazice ipoteza că $(x_n)$ este mărginit. Atunci concluzia despre $(a_n)$ este că are limita 2 sau nu are limită. Cum în lista de răspunsuri nu apare vreo referire la posibilitatea să nu aibă limită, rămane că singurul răspuns de bifat este b).
Altfel, din relația $x_n=s_n-a_n\sqrt{n}\Rightarrow a_n=\frac{s_n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}x_n\Rightarrow \lim_{n\to \infty }a_n=\lim_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}-0=2$
La prima limită am aplicat Stolz, iar a doua este 0 ca produs dintre un șir convergent la 0 și unul mărginit.

Inregistrare

Login

Resetare parola

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

UTCN 1211

Similare

4 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul