Home/ Intrebari/Q 92550
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Justice88c
Pe: 2018-02-16T19:59:00+02:00 In: In:

Problema radicali

Trebuie sa se demonstreze ca numarul \sqrt[n]{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}}+\sqrt[n]{\sqrt{2018}-\sqrt{2017}} este irational pentru orice n>=2. Ceva idei de rezolvare?

Similare

8 raspunsuri

  1. Integrator
    maestru (V)

    Justice88c post_id=110626 time=1518811140 user_id=22735 wrote:
    Trebuie sa se demonstreze ca numarul \sqrt[n]{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}}+\sqrt[n]{\sqrt{2018}-\sqrt{2017}} este irational pentru orice n>=2. Ceva idei de rezolvare?


    Bună dimineața,

    Care este enunțul original al problemei?

    Toate cele bune,

    Integrator

  2. ghioknt
    profesor

    x_1=\sqrt[n]{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}},\;x_2=\sqrt[n]{\sqrt{2018}-\sqrt{2017}}\Rightarrow x_1\cdot x_2=1.
    Dacă notăm x_1+x_2=r, atunci cele două numere sunt rădăcinile ecuației x^2-rx+1=0,
    iar sumele S_k=x_1^k+x_2^k verifică recurența S_{k+2}-rS_{k+1}+S_k=0 pentru orice k întreg.
    Dacă presupunem că r este rațional, atunci din S_{k+1},\;S_k\in \mathbb{Q}\Rightarrow S_{k+2}\in \mathbb{Q}.
    Cum S_0=2\;si \;S_1=r, conform pricipiului inducției, sumele S_k sunt raționale pentru
    orice k natural. În particular S_n=2\sqrt{2018}\in \mathbb{Q}, ceeace, evident, este fals.

  4. Justice88c

    Multumesc pentru ajutor. 🙂

  5. Integrator
    maestru (V)

    Justice88c post_id=110637 time=1518959320 user_id=22735 wrote:
    Multumesc pentru ajutor. 🙂


    Bună ziua,

    Atenție!
    Ați încălcat regulamentul forumului , deoarece problema propusă de Dvs. este problema 27451 din „Gazeta Matematică” seria B , nr. 11/2017 , pagina 555 și la care se poate trimite rezolvarea până la 31 martie 2017!
    ––––––––––––––––––––-
    Dacă ați înțeles raționamentul Domnului Profesor „ghioknt” aș dori să-mi explicați detaliat acea rezolvare!

    Numai bine,

    Integrator

  6. Integrator
    maestru (V)

    ghioknt post_id=110629 time=1518857722 user_id=18683 wrote:
    x_1=\sqrt[n]{\sqrt{2018}+\sqrt{2017}},\;x_2=\sqrt[n]{\sqrt{2018}-\sqrt{2017}}\Rightarrow x_1\cdot x_2=1.
    Dacă notăm x_1+x_2=r, atunci cele două numere sunt rădăcinile ecuației x^2-rx+1=0,
    iar sumele S_k=x_1^k+x_2^k verifică recurența S_{k+2}-rS_{k+1}+S_k=0 pentru orice k întreg.
    Dacă presupunem că r este rațional, atunci din S_{k+1},\;S_k\in \mathbb{Q}\Rightarrow S_{k+2}\in \mathbb{Q}.
    Cum S_0=2\;si \;S_1=r, conform pricipiului inducției, sumele S_k sunt raționale pentru
    orice k natural. În particular S_n=2\sqrt{2018}\in \mathbb{Q}, ceeace, evident, este fals.


    Bună ziua,

    Nu am înțeles raționamentul Dvs.! 💡 Ce fel de inducție este cea pe care Dvs. o invocați?Nu am înțeles și v-aș ruga frumos să detaliați privind acea inducție si recurență!Mulțumesc mult!
    Se învață la clasa a X-a despre recurențele de tipul specificat de Dvs.?

    Numai bine,

    Integrator

  8. ghioknt
    profesor

    Integrator post_id=110650 time=1519023133 user_id=14570 wrote:

    Se învață la clasa a X-a despre recurențele de tipul specificat de Dvs.?

    Nu, dar în clasa a 9-a se învață această recurență, sau ar trebui să o știe măcar cei care se pregătesc pentru concursuri:
    aS_{k+2}+bS_{k+1}+cS_k=0 care rezultă din ax_1^2+bx_1+c=0
    prin înmulțire cu x_1^k, apoi adunare cu relația analoagă, cu x_2 în loc de x_1.
    Despre inducție: dacă într-un șir de propoziții stabilim că primele două sunt adevărate, aici P(0) și P(1), iar din faptul că, pentru orice k, din P(k) și P(k+1) adevărate putem deduce că și P(k+2) este adevărată, atunci toate propozițiile șirului sunt adevărate.

  9. Integrator
    maestru (V)

    ghioknt post_id=110656 time=1519069674 user_id=18683 wrote:
    [quote=Integrator post_id=110650 time=1519023133 user_id=14570]

    Se învață la clasa a X-a despre recurențele de tipul specificat de Dvs.?


    Nu, dar în clasa a 9-a se învață această recurență, sau ar trebui să o știe măcar cei care se pregătesc pentru concursuri:
    aS_{k+2}+bS_{k+1}+cS_k=0 care rezultă din ax_1^2+bx_1+c=0
    prin înmulțire cu x_1^k, apoi adunare cu relația analoagă, cu x_2 în loc de x_1.
    Despre inducție: dacă într-un șir de propoziții stabilim că primele două sunt adevărate, aici P(0) și P(1), iar din faptul că, pentru orice k, din P(k) și P(k+1) adevărate putem deduce că și P(k+2) este adevărată, atunci toate propozițiile șirului sunt adevărate.

    Bună dimineața,

    Nu înțeleg ecuația Dvs. de recurență!Fără supărare dar soluția generală a ecuației recurente S_{k+2}-r\cdot S_{k+1}+S_k=0 este cea dată de „WolframAlpha”:
    .Ce valori pot avea parametrii c_1 și c_2 din soluția dată de „WolframAlpha”? 💡
    Această soluție dată de „WolframAlpha” este diferită de cea presupusă de Dvs. prin acel artificiu de calcul.

    Numai bine,

    Integrator

  10. ghioknt
    profesor

    Integrator post_id=110657 time=1519105905 user_id=14570 wrote:

    Nu înțeleg ecuația Dvs. de recurență!Fără supărare dar soluția generală a ecuației recurente S_{k+2}-r\cdot S_{k+1}+S_k=0 este cea dată de „WolframAlpha”:
    .Ce valori pot avea parametrii c_1 și c_2 din soluția dată de „WolframAlpha”? 💡
    Această soluție dată de „WolframAlpha” este diferită de cea presupusă de Dvs. prin acel artificiu de calcul.

    Nici eu nu înțeleg nedumeririle dunmeavoastră, așa că, din acest punct de vedere, suntem chit. Presupun și apreciez faptul că chiar doriți să mă înțelegeți, drept urmare voi căuta să fiu și mai clar.
    Când afirm că șirul (S_k)_{k\geq 0} verifică relația de recurență S_{k+2}-r\cdot S_{k+1}+S_k=0,
    spun de fapt că, pentru acel șir dat, am găsit o relație de recurență, u_{k+2}-r\cdot u_{k+1}+u_k=0 pentru care șirul de mai sus, definit prin termenul său general S_k=x_1^k+x_2^k, este una dintre multele sale soluții.

    Rezum: pentru un șir dat am căutat și am găsit o recurență pentru care el este o soluție, și nu invers, pentru o recurență dată să găsesc nu’ș ce soluția lu’ Wolf.

Raspunde

Raspunde