Home/ Intrebari/Q 92548
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ana anuta
Pe: 2018-02-14T05:06:38+02:00 In: In:

algebra

Sa se determine toate numerele naturale n cu proprietatea ca √(2n + 1) este numar rational, iar numerele √(2n + 2),√(2n + 3), . . . , √(3n + 3)sunt irationale.
2n+1=p^{2}
3n+3 mai mic sau egal (p+1)^{2}.
n=0
n=4
Daca sunt singurele solutii, cum arat asta?

Similare

1 raspuns

  1. Integrator
    maestru (V)

    ana anuta post_id=110611 time=1518584798 user_id=22288 wrote:
    Sa se determine toate numerele naturale n cu proprietatea ca √(2n + 1) este numar rational, iar numerele √(2n + 2),√(2n + 3), . . . , √(3n + 3)sunt irationale.
    2n+1=p^{2}
    3n+3 mai mic sau egal (p+1)^{2}.
    n=0
    n=4
    Daca sunt singurele solutii, cum arat asta?


    Buna dimineața,

    Deoarece trebuie ca 2n+1=p^2 , atunci prin inducție deducem că 3n+3=p^2+n+2 unde p\in \mathbb N.
    Din p^2+n+2<(p+1)^2 rezultă n<2p-1 și cum n=\frac{p^2-1}{2} atunci obținem inecuația p^2-4p+1<0. Inecuația p^2-4p+1<0 este echivalentă cu inecuația (p-2)^2-3<0 de unde rezultă că p-2<\sqrt{3} , adică p<2+\sqrt{3}.În concluzie p\leq 3 ceea ce înseamnă că n=0 și n=4.

    Q.E.D

    Toate cele bune,

    Integrator

Raspunde

Raspunde