Home/ Intrebari/Q 92546
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

axel112
Pe: 2018-02-13T15:15:53+02:00 In: In:

Polinoame utc

Fie polinomul P(x)=x^{3}-x^{2}-x+a, a\epsilon \mathbb{R}, cu radacinile x_{1},x_{2},x_{3}.
1241.Daca P are radacini distincte, atunci expresia
\frac{P(x_{1})-x_{1}^{3}}{P'(x_{2})}+\frac{P(x_{2})-x_{2}^{3}}{P'(x_{2})}+\frac{P(x_{3})-x_{3}^{3}}{P'(x_{3})} este:
A.-1
B.1
C.0
D.2
E.depinde de a

Similare

5 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Sa avem in vedere faptul ca P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \Rightarrow P'(x) = (x-x_1)(x-x_2)+(x-x_2)(x-x_3)+(x-x_3)(x-x_1) \Rightarrow P'(x_1)=(x_1-x_2)(x_1-x_3) (ceilalti 2 termeni se anuleaza) si celelalte.

    Suma se poate scrie ca \frac{-x_1^2-x_1+a}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+\frac{-x_2^2-x_2+a}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+\frac{-x_3^2-x_3+a}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}. Amplificam fractiile cu -, daca e nevoie, astfel incat sa avem la numitori doar termeni dintre x_1-x_2,x_2-x_3,x_3-x_1 (ne va fi mai usor sa aducem la acelasi numitor apoi, daca pastram ordinea aceasta) si obtinem ca suma este \frac{x_1^2+x_1-a}{(x_1-x_2)(x_3-x_1)}+\frac{x_2^2+x_2-a}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}+\frac{x_3^2+x_3-a}{(x_3-x_1)(x_2-x_3)} = \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \left[ (x_2-x_3)(x_1^2+x_1-a) + (x_3-x_1)(x_2^2+x_2-a) + (x_1-x_2)(x_3^2+x_3-a)\right].

    Desfacand parantezele dintre parantezele drepte si reducand termenii asemenea, obtinem ca paranteza dreapta se evalueaza la 0, deci raspunsul este \fbox{C}.

    NOTA: Se pare ca faptul ca la numaratori aparea P(x_1) era de mare ajutor. Eu am fost tentat initial sa scap de P(x_i) pentru ca toti sunt egali cu 0 (x_1,x_2,x_3 sunt radacini pentru P).

  2. axel112

    (x_{2}-x_{3})(x_{1}^{2}+x_{1}-a)+(x_{3}-x_{1})(x_{2}^{2}+x_{2}-a)+(x_{1}-x_{2})(x_{3}^{2}+x_{3}-a)=
    x_{2}\cdot x_{1}^{2}+x_{2}\cdot x_{1}-a\cdot x_{2}-x_{3}\cdot x_{1}^{2} -x_{3}\cdot x_{1}+a\cdot x_{3}+x_{3}\cdot x_{2}^{2}+x_{3}\cdot x_{2}-a\cdot x_{3}-x_{1}x_{2}^{2}-x_{1}\cdot x_{2}+a\cdot x_{1}+x_{1}\cdot x_{3}^{2}+x_{1}\cdot x_{3}-a\cdot x_{1}-x_{2}\cdot x_{3}^{2}-x_{1}\cdot x_{3}+ax_{2}=
    x_{2}\cdot x_{1}^{2}-x_{3}\cdot x_{1}^{2}+x_{3}\cdot x_{2}^{2}-x_{1}\cdot x_{2}^{2}+x_{1}\cdot x_{3}^{2}-x_{2}\cdot x_{3}^{2}=
    x_{1}\cdot x_{2}(x_{1}-x_{2})+x_{1}\cdot x_{3}(x_{3}-x_{1})+x_{2}\cdot x_{3}(x_{2}-x_{3})=0?
    ultima ecuatie de ce e egala cu 0

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Oh, VAI! Multe scuze.. m-a luat valul.. mi s-a parut ca se taie x_1x_2^2 cu x_1^2x_2 (si celelalte), dar de fapt nu sunt acelasi lucru 🙁.

  5. gigelmarga
    profesor

    Răspunsul este A. Vedeți culegerea de Niță-Năstăsescu, problemele 1,2 de la capitolul Numere reale…

    O soluție cu polinoame (nu calcul direct) e posibilă, considerînd polinomul (folosesc notațiile din culegere) P(x)=\sum \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}, care e de grad cel mult 2, dar pentru care P(a)=P(b)=P(c)=1, deci…

  6. axel112

    cum x_{1},x_{2},x_{3} rad. ale ec. rezulta ca P(x_{1})=P(x_{2})=P(x_{3})=0 ec devine:
    -[\frac{x_{1}^{3}}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}+\frac{x_{2}^{3}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}+\frac{x_{3}^{3}}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}]=
    si din formula e egala cu
    =-(x_{1}+x_{2}+x_{3})=-s_{1}=-1
    multumesc mult am scris ca sa pot trece pe curat

Raspunde

Raspunde