Home/ Intrebari/Q 92541
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Glow \'n\' Show
Pe: 2018-02-11T12:57:39+02:00 In: In:

Numere complexe:parte imaginara, egalitate

Salut!
Stiu ca in regulament scrie ca e interzisa ” solicitarea de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-un concurs aflat în derulare. „, in cazul acesta fiind vorba de Gazeta Matematica asa ca daca deranjeaza pe cineva, voi sterge postarea.
Nu particip la acest concurs, m-as bucura doar sa reusesc sa rezolv toate problemele din gazetele recente, doarece la olimpiada locala si judeteana de matematica, unul dintre subiecte este chiar o problema dintr-o gazeta si mi-ar fi de folos sa o pot rezolva astfel in timp util.
Am nevoie de o idee de pornire la urmatoarea problema din Gazeta Matematica nr 11/2017:

Fie numerele complexe nenule a,a_{1},a_{2},...,a_{n},z astfel incat numerele reale Im(a_{1}),Im(a_{2}),...,Im(a_{n}) sa aiba acelasi semn, iar z sa verifice egalitatea a(z+a_{1})(z+a_{2})...(z+a_{n})+(z+\bar{a_{1}})(z+\bar{a_{2}})...(z+\bar{a_{n}})=0
Sa se arate ca z este real daca si numai daca |a|=1.

Similare

5 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Buna seara,

    Din pacate, enuntul pare gresit, pentru ca daca avem, sa zicem, a_1 \in \mathbb{R} si z=-a_1\neq 0, atunci egalitatea se verifica pentru orice a (cu a_2,..,a_n alese cu parti imaginare potrivite) penru ca, z fiind real, z+\bar a_1 = \overline{z+a_1}=0.

    Ce vreau sa zic e ca exista numere cu proprietatile date si z\in\mathbb{R} si |a|\neq 1, deci nu e valabila concluzia.

  2. ghioknt
    profesor

    Eu interpretez că enunțul interzice ca Im(a_i)=0, deci nici un a_i nu poate fi real.
    Fie M_k(a_k),\;M'_k(\overline{a}_k),\;P(-z).
    |a|=\prod_{k=1}^{n}\frac{PA'_k}{PA_k}. Dacă z nu este real, atunci P se află de aceeași parte a axei Ox cu toate punctele A_k sau cu toate punctele A’_k. Deci toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare. Înseamnă că dacă |a|=1, atunci z este real și reciproc, dacă z este real, toate rapoartele sunt 1.

  4. Glow \'n\' Show

    Nu sunt sigur ca am inteles tot cum trebuie, deci am cateva intrebari, daca nu va suparati:
    1) A este de fapt M? Nu este introdusa nicaieri notatia cu A deci am presupus atunci ca e acelasi lucru
    2) din |a|=\prod_{k=1}^{n}\frac{PA'_k}{PA_k} , PA_k este lungimea segmentului PA_k =|a_k-(-z)|=|a_k+z|?
    3)

    ghioknt post_id=110585 time=1518370729 user_id=18683 wrote:
    Dacă z nu este real, atunci P se află de aceeași parte a axei Ox cu toate punctele A_k sau cu toate punctele A’_k. Deci toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare.


    Asta reiese din ” Im(a_{1}),Im(a_{2}),...,Im(a_{n}) sa aiba acelasi semn „? Mie asta imi sugereaza faptul ca toate punctele A_k se afla pe aceeasi parte a dreptei OX si toate punctele A'_k se afla pe cealalta parte a lui OX. Iar daca z nu e real, P nu va fi pe OX, deci va fi ori deasupra lui OX, ori dedesubt.
    Dar nu mi-e 100% clar de ce asta ar insemna ca toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare.

  5. ghioknt
    profesor

    Îmi cer scuze că nu am oservat la timp postarea ta cu întrebări. Bănuiesc că între timp ți-ai răspuns singur la ele.
    Da, ai înțeles bine și scăparea mea de a începe cu M și a continua cu A și cine sunt lungimile PA_k.
    Ține cont că axa Ox este mediatoarea unui segment cum este [A_1A'_1]; dacă A_1 și P sunt de aceeași parte a axei Ox, înseamnă că piciorul perpendicularei din P pe dreapta A_1A'_1 este mai apropiat de primul. Când eram mic, profesorul meu insista: dintre 2 oblice față de o dreaptă, duse din același punct P, mai lungă este aceea al cărei picior (de pe dreaptă) este mai depărtat față de piciorul perpendicularei. Drept care, e rândul meu acum să te bat la cap să tragi sigur concluziile: PA_1<PA'_1 și la fel pentru oricare k. 😀

  6. Glow \'n\' Show

    Multumesc mult, am inteles 😀

Raspunde

Raspunde