Home/ Intrebari/Q 92539
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

mihaimath
Pe: 2018-02-10T12:09:38+02:00 In: In:

numere prime

Va cer ajutorul din nou, daca se poate o idee.
Determinati numerele prime p pentru care exista n numar natural, astfel incat 3p^{2}+p= n^{2}+ 3n

Similare

6 raspunsuri

  1. numere

    Pt p=2 nu exista n natural. Ramane p impar, poate se gaseste acolo ceva. alte idei nu am incercat

  2. PhantomR
    expert (VI)

    Cerinta nu e, cumva 3p^2+p=n^2+3n? In postul dumneavoastra arata de parca p si 3n sunt la putere, dar ma indoiesc ca asa trebuia.

  4. numere

    eu am scris cum ai considerat si tu, phantomr.

  5. PhantomR
    expert (VI)

    🙂 Cred ca asa ar fi trebuit sa fie (EDIT: @mihaimath: motivul pentru care se vede rau in postul dumneavoastra este ca nu ati pus toata ecuatia intre tag-uri <E>:)</E> ).. daca e asa cum am scris in postul de mai sus:<br/> <br/> [tex]p(3p+1)=n(n+3). Obtinem p|n(n+3), deci p|n sau p|n+3.

    Daca p|n \Rightarrow n = pk. Sa observam ca k\geq 1 pentru ca n\neq 0 (altfel ,p=0, fals). Obtinem:
    p(3p+1)=pk(pk+3) \Leftrightarrow 3p+1=pk^2+3k \Leftrightarrow p(k^2-3)=-(3k-1). Sa observam ca membrul drept e negativ, rezulta ca si cel stang, deci k^2-3 \leq 0 \Leftrightarrow k^2\leq 3 \Rightarrow k=1, deci n=p si obtinem ecuatia p(3p+1)=p(p+3) \Leftrightarrow 3p+1=p+3 \Leftrightarrow p=1, fals.

    Daca p|n+3 \Rightarrow n+3=pk (din nou, observam k\geq 1) si avem n=pk-3. Obtinem p(3p+1)=(pk-3)\cdot pk \Leftrightarrow 3p+1=pk^2-3k \Leftrightarrow 3k+1=p(k^2-3). Sa observam (intuitia aici este faptul ca expresia k^2-3 devine mai mare ca 3k+1 pe masura ce k creste, astfel ca dupa un anumit k egalitatea celor 2 membri va fi imposibila) ca membrul drept este cel putin 2(k^2-3) (NOTA: Puteti, daca vreti, sa nu folositi 2, ci doar 1 ca valoare minima pentru p, dar poate folosind 2 scapam de niste cazuri de analizat), deoarece p\geq 2, astfel ca obtinem 3k+1\geq 2(k^2-3) \Leftrightarrow 3k+1 \geq 2k^2-6 \Leftrightarrow 2k^2-3k\leq 7 \Leftrightarrow k(2k-3)\leq 7. Obtinem k\in \{0,1,2\}.

    k=0 implica n=-3, fals.
    k=1 implica n=p-3, deci avem p(3p+1)=(p-3)p \Rightarrow 3p+1=p-3 \Rightarrow p=-2, fals.
    k=2 implica n=2p-3, deci avem p(3p+1)=(2p-3)\cdot 2p \Leftrightarrow 3p+1=4p-6 \Leftrightarrow p=7.

    Deci solutia unica este p=7 pentru care obtinem singurul n valid ca: n=2p-3=11.

  6. mihaimath

    Multumesc mult, domnule PhantomR ! Am inteles, eu ma blocasem la un moment dat. 🙂

  8. PhantomR
    expert (VI)

    Cu drag! 😀 Si eu m-am blocat initial.. ma intreb daca nu se poate face si in alt mod, poate cu mai putine calcule 😀.

Raspunde

Raspunde