Home/ Intrebari/Q 92526
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

ada2014
Pe: 2018-02-03T07:27:06+02:00 In: In:

matrice nesingulara

fie A,B,C,D matrtice patratice de ordin 2 , NESINGULARE,astfel incat (A-Bla Minus 1)B-(AD+CB)=CD =O
SA SE verifice care dintre urmatoarele relatii este adevarata
I-CD+BA=CB+DA
DC-I+BA=BC+DA
CD+I-DA=BC-BA
DC+I-AB=DA+BC
CD-I+AB=BC-AD
I+CD+AB=BC+AD

Similare

25 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Va rog sa verificati ca cerinta este EXACT asa cum o transcriu eu aici (sunt mai ales interesat de semnul din fata lui CD din ipoteza.. chiar e EGAL acolo si nu minus? 🙂 Intreb pentru ca stiu ca se poate apasa usor gresit pe tastatura).

    Va rog, de asemenea, sa verificati si ca relatiile de demonstrat sunt scrise corect.

    Fie A,B,C,D matrice patratice de ordin 2 nesingulare a.i. (A-B^{-1})B - (AD+CB)=CD=0. Sa se verifice care dintre urmatoarele relatii este adevarata:
    I-CD+BA=CB+DA
    DC-I+BA=BC+DA
    CD+I-DA=BC-BA
    DC+I-AB=DA+BC
    CD-I+AB=BC-AD
    I+CD+AB=BC+AD

  2. ada2014

    da, intr-adevar este -CD. In rest e corect
    MULTUMESC

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Este o problema de la admiterea de la Poli Timisoara 🙂? Am vazut ca ati mai postat, dar aceasta nu are numarul problemei. Mi se pare ciudat ca-s asa multe minusuri in ipoteza.. dupa ce am desfacut parantezele eu am ramas cu: AB-AD-CB-CD=I.

    Cu drag.

  5. ghioknt
    profesor

    Eu cred că este +CD (diferența dintre = și + este de un Shift). Ipoteza devine atunci I=(A-C)(B-D) care se mai scrie
    I=(B-D)(A-C), care este totuna cu a doua relație.
    Dar atunci mă întreb, la ce folosește informația că A, C și D sunt inversabile?

  6. ada2014

    enuntul este corect

  8. PhantomR
    expert (VI)

    @ada2014 Daca e asa, probabil e destul de complicat de rezolvat.. dar, mi-ati putea spune, va rog, care e sursa problemei? Pare a fi o problema de admitere pentru ca are variante.

    @ghioknt da, ar fi ciudat sa fie cu + 🙂..

  9. Felixx
    veteran (III)

    PhantomR post_id=110465 time=1517690150 user_id=15235 wrote:
    Este o problema de la admiterea de la Poli Timisoara 🙂? Am vazut ca ati mai postat, dar aceasta nu are numarul problemei. Mi se pare ciudat ca-s asa multe minusuri in ipoteza.. dupa ce am desfacut parantezele eu am ramas cu: AB-AD-CB-CD=I.

    Cu drag.


    AL182
    Enuntul corect este :
    Fie matricele A,B,C,D\in M_{2}\left ( \mathbb{R} \right ) ,B,C,D nesingulare,astfel incat:
    \left ( A-B^{-1} \right )B-\left ( AD+CB \right )+CD=O_{2}
    Care din urmatoarele relatii este adevarata?
    a)I_{2}-CD+BA=CB+DA
    b)D\left ( C+D^{-1} \right )-AB=DA+BC
    c)DC-I_{2}+BA=BC+DA
    d)C(D-C^{-1})+AB=BC-AD
    e)CD+I_{2}-DA=BC-BA
    f)C(C^{-1}+D)+AB=BC+AD

  10. ada2014

    O problema interesanta mi se pare și AM 123 DIN NOUA CULEGERE DE POLI…..

  12. PhantomR
    expert (VI)

    Deci, pana la urma, cerinta corecta e intr-adevar cea postata de Felixx? 😀 Eu, din pacate, nu am gasit pe net decat culegerea aceasta: , in care nu am reusit sa gasesc nici AM 123 si nici AL182 (nu sunt atat de multe probleme nici la algebra, nici la analiza).

  13. Felixx
    veteran (III)

    ada2014 post_id=110536 time=1518039694 user_id=20352 wrote:
    O problema interesanta mi se pare și AM 123 DIN NOUA CULEGERE DE POLI…..

    AM123
    Un camion trebuie sa parcurga 100km cu o viteza constanta v (km/h), cu conditia 40\leq v\leq 70,consumand \left ( 8+\frac{v^{2}}{300} \right ) litri/h de benzina.Sa se determine viteza pentru care costul este minim,stiind ca soferul este platit cu 15 lei/l si benzina costa 6 lei /litru.
    Solutie:
    Costul C=\left ( 8+\frac{v^{2}}{300} \right )\cdot \frac{100}{v}\cdot 6+15\cdot \frac{100}{v}
    Deci: C\left ( v \right )=\frac{6300}{v}+2v
    De aici aflati pe v pentru care C(v) este minim.
    C'\left ( v \right )=\frac{2\left ( v^{2}-3150 \right )}{v^{2}}
    v>0,v=15\sqrt{14},40\leq v\leq 70

  14. ada2014

    Da, enunțul corect este cel postat de Felix

  16. PhantomR
    expert (VI)

    ada2014 post_id=110551 time=1518122513 user_id=20352 wrote:
    Da, enunțul corect este cel postat de Felix

    Atunci, rezolvarea a fost indicata de domnul ghioknt mai sus. Avand in vedere ca variantele de raspuns s-au schimbat, varianta corecta noua ar fi c) pentru enuntul nou.

  17. ada2014

    puteti, va rog, sa ma ajutati la redactarea solutiei problemei cu matricile
    Multumesc mult ptr analiza

  18. PhantomR
    expert (VI)

    (A-B^{-1})B - (AD+CB)+CD=0 \Leftrightarrow AB - I - AD -CB + CD = 0 \Leftrightarrow AB-CB-AD+CD=I \Leftrightarrow (A-C)B-(A-C)D=I \Leftrightarrow (A-C)(B-D)=I. De aici, deducem ca matricele A-C,B-D sunt inversabile si, in plus, (A-C)^{-1}=B-D, astfel ca este adevarata si relatia (B-D)(A-C)=I, care se scrie BA-BC-DA+DC=I care se poate rearanja in DC-I+BA=BC+DA, adica relatia c).

  20. ada2014

    Multumesc

  21. ada2014

    ma poate ajuta cineva si la AL135 din noua cul de Poli

  22. PhantomR
    expert (VI)

    Care este aceasta culegere noua? Puteti s-o puneti aici (un link sau ceva) sau, daca nu, sa puneti cerinta (in alt topic, nu tot in acesta) 🙂?

  24. ada2014

    Culegerea ptr admitere 2019 nu este cea ptr 2018. Au multe schimbari

  25. PhantomR
    expert (VI)

    Eu nu am niciuna dintre culegeri.. doar cea din linkul respectiv de mai sus (care parca scria ca-i din 2009?). Puteti pune, va rog, cerinta aici in caz ca nu exista un link catre culegere?

  26. ada2014

    se considera matricea patratica de ordin 2
    A= limia I: 3 -6
    linia II: 1 -2
    sa se calculeze tr [(A+I)(A+2I)(A+3I)…(A+2018I)] , undde I este matricea unitate de ordin 2

  28. Bjarn3

    Cu teorema Hamilton-cayley arăți că matricea e idempotenta( adică A^2=A) , apoi spargi parantezele și iti dai seama de regulă. O să îți dea ceva cu factorial. Să îmi zici dacă îți iese.

  29. PhantomR
    expert (VI)

    Bjarn3 post_id=110702 time=1519585853 user_id=22668 wrote:
    Cu teorema Hamilton-cayley arăți că matricea e idempotenta( adică A^2=A) , apoi spargi parantezele și iti dai seama de regulă. O să îți dea ceva cu factorial. Să îmi zici dacă îți iese.

    Nu stiu daca am inteles bine ideea, dar inspirandu-ma din ce ati scris, am considerat un sir a_k=(A+I)(A+2I)(A+3I)...(A+kI). Folosim faptul ca A^2-A\cdot \rm{Tr}A + \det(A)I_2=0 (Cayley-Hamilton), de unde A^2=A

    Avem a_1= A + I.
    a_2=a_1(A+2I)=(A+I)(A+2I)=A^2+2A+A+2I=A^2+3A+2I=4A+2I=2(2A+I)
    a_3=a_2(A+3I)=2(2A+I)(A+3I)=2(2A^2+6A+A+3I)=2(9A+3I)=6(3A+I)
    a_4=a_3(A+4I)=...=24(4A+I)

    Bazandu-ne tot pe ce a zis Bjarn3 legat de factorial, observam ca regula pare a fi a_k=k!(kA+I).

    Demonstram prin inductie: Am verificat cazul de baza k=1. Presupunem ca a_k=k!(kA+I) pentru un k\geq 1 oarecare. Avem a_{k+1}=a_k(A+(k+1)I)= k!(kA+I)(A+(k+1)I)=k!(kA^2+k(k+1)A+A+(k+1)I)=k!(kA+(k^2+k+1)A+(k+1)I)=k!( (k^2+2k+1)A+(k+1)I)=k!( (k+1)^2A+(k+1)I)= k!(k+1)( (k+1)A+I)=(k+1)!( (k+1)A+I), ceea ce trebuia aratat.

    Deci, a_{2018}=2018!(2018A+I). Atunci, urma ceruta este egala cu (2018! (2018\cdot \rm{Tr}A+\rm{Tr}I) = 2018!\cdot 2020.

  30. Bjarn3

    Răspuns corect ! 🙂)

  32. ghioknt
    profesor

    Îmi permit să scriu și altă abordare, poate interesează pe cineva. Fie polinomul matricial
    f(A)=(A-I_2)(A-2I_2)...(A-nI_2)=c_nA^n+c_{n-1}A^{n-1}+...+c_1A+c_0I_2.
    Știind că, în general, Tr(aA+bB)=aTr(A)+bTr(B), iar, în particular, Tr(A^k)=Tr(A)=1:\\Tr(f(A))=c_n+c_{n-1}+...+c_1+2c_0.
    Funcția polinomială reală g(x)=(x+1)(x+2)...(x+n)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1x+c_0,
    cu exact aceeași coeficienți ca și polinomul f, ne dă:
    c_n+c_{n-1}+...+c_1+c_0=g(1)=(n+1)!\;si\;c_0=n!,\;deci\;\\Tr(f(A))=(n+1)!+n!.

  33. Green eyes
    maestru (V)

    Bună seara,

    Din păcate, enunțul scris de Ada2014 este greșit, în loc de tr[(A+I)(A+2I)(A+3I)…(A+2018I)], cerința este pentru:

    \blue tr[(I_2+A)(I_2+2A)(I_2+3A)\ldots(I_2+2018A)]

    Sperăm să nu fi greșit la fel și la admitere 🙂.

    Green eyes.

Raspunde

Raspunde