Home/ Intrebari/Q 92521
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Bjarn3
Pe: 2018-02-01T12:23:56+02:00 In: In:

matrice+limite

1.\text{Fie }A\in M_2(\mathbb{N}),\text{astfel incat }A^{2019}=A^{2018}+A^{2017}\neq O_2.\text{Pentru orice } n\in \mathbb{N} \text{se noteaza}\\ \text{cu }s_n\text{ suma elementelor matricei }A^n.\text{Sa se arate ca }s_n=F_{n+3}\forall n\in \mathbb{N},\text{ unde }(F_n)_{n\geq 1}\\ \text{este sirul lui Fibonacci:}\\ F_0=0,\ F_1=1, ~~F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1},\forall n\geq 1.

2.\text{Se considera sirurile }(a_n)_{n\geq 2}\text{ si }(b_n)_{n\geq 2}\text{ definite prin:}\\ a_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\ldots \sqrt{n}}}\\ b_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\ldots \sqrt{n+\sqrt{2(n+1)}}}}\\ \text{pentru orice }n\geq 2.\text{Sa se arate ca:}\\ \displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}[10a_n]=\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}[10b_n]=17, \\ \text{unde [x] este partea intreaga a numarului real x.}

Va rog mult de tot,pana maine !!!

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    1. Evident, A\neq O_2.
    Dacă presupun că det(A)=0, atunci A^2=tA\Rightarrow A^n=t^{n-1}A, t este urma matricei A, deci număr natural.
    Ipoteza conduce la t^2-t-1=0, ecuație care nu are soluții naturale.
    Înseamnă că A este inversabilă și din relația din ipoteză deduci A^2-A-I_2=O_2, apoi A^{n+2}=A^{n+1}+A^n pentru orice n.
    Mai departe, inducție .
    2. Șirul (a_n) este crescător și a_4=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+2}}=\sqrt{3}>1.7
    Șirul (b_n) este descrescător. Într-adevăr
    b_n>b_{n+1}\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{2n+2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{n+1+\sqrt{2n+4}}}}}\\2n+2>n+1+\sqrt{2n+4}\Leftrightarrow n^2>3
    b_2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{6}}}<\sqrt{1+\sqrt{2+2.5}}<\sqrt{1+2.2}<1.8 este cel mai mare termen.
    Pentru n\geq 4:\;17<10a_n<10b_n<18, deci cele 2 șiruri sunt constante și egale cu 17.

  2. Bjarn3

    ghioknt post_id=110434 time=1517512055 user_id=18683 wrote:
    1. Evident, A\neq O_2.
    Dacă presupun că det(A)=0, atunci A^2=tA\Rightarrow A^n=t^{n-1}A, t este urma matricei A, deci număr natural.
    Ipoteza conduce la t^2-t-1=0, ecuație care nu are soluții naturale.
    Înseamnă că A este inversabilă și din relația din ipoteză deduci A^2-A-I_2=O_2, apoi A^{n+2}=A^{n+1}+A^n pentru orice n.
    Mai departe, inducție .
    2. Șirul (a_n) este crescător și a_4=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+2}}=\sqrt{3}>1.7
    Șirul (b_n) este descrescător. Într-adevăr
    b_n>b_{n+1}\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{2n+2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{n+1+\sqrt{2n+4}}}}}\\2n+2>n+1+\sqrt{2n+4}\Leftrightarrow n^2>3
    b_2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{6}}}<\sqrt{1+\sqrt{2+2.5}}<\sqrt{1+2.2}<1.8 este cel mai mare termen.
    Pentru n\geq 4:\;17<10a_n<10b_n<18, deci cele 2 șiruri sunt constante și egale cu 17.


    Multumesc mult!

Raspunde

Raspunde