Home/ Intrebari/Q 92496
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

quaintej
Pe: 2018-01-17T16:25:00+02:00 In: In:

Functie bijectiva cu numere complexe

Buna seara!
Am gasit iar o problema si as dori daca se poate cateva sugestii pentru rezolvarea ei.
Fie f:C -> C, f(z)=az+b\bar{z} , a,b\in\mathbb{C} .
Sa se arate ca f este bijectiva daca si numai daca |a|\neq |b| si calculati f^{-1}
Multumesc anticipat!

Similare

4 raspunsuri

  1. gigelmarga
    profesor

    quaintej post_id=110342 time=1516206300 user_id=21713 wrote:
    Buna seara!
    Am gasit iar o problema si as dori daca se poate cateva sugestii pentru rezolvarea ei.
    Fie f:C -> C, f(z)=az+b\bar{z} , a,b\in\mathbb{C} .
    Sa se arate ca f este bijectiva daca si numai daca |a|\neq |b| si calculati f^{-1}
    Multumesc anticipat!

    Dacă |a|=|b|, calculează f(\bar{a}) și f(b). Ce se observă? Dacă f e injectivă, poate fi și surjectivă?

    Reciproc, dacă f e bijecție, atunci pentru orice w\in\mathbb{C} ecuația f(z)=w trebuie să aibă soluție unică. Cum se rezolvă această ecuație? (indicație: aplicăm conjugarea).

  2. ghioknt
    profesor

    Pe scurt, f:C -> C este bijectivă dacă și numai dacă pentru orice u din C ecuația f(z)=u are soluție unică în C.
    f(z)=u se scrie az+b\overline{z}=u (1), care are drept consecințe pe
    \overline{b}\cdot z+\overline{a}\cdot \overline{z}=\overline{u} (2) și pe (|a|^2-|b|^2)z=\overline{a}u-b\overline{u} (3)
    Ultima ecuație are soluție unică dacă și numai dacă |a|\neq |b|, în caz contrar ori nu are soluție, ori este adevărată pentru orice z.
    Soluția ei, z=\frac{\overline{a}u-b\overline{u}}{|a|^2-|b|^2} verifică și (1).
    f^{-1}(u)=\frac{\overline{a}u-b\overline{u}}{|a|^2-|b|^2}.

  4. quaintej

    Multumesc, am inteles acum rezolvarea. Am gasit aceeasi idee si in cartea din care am luat problema dar nu am inteles-o prea bine, mi se parea ca ceva lipseste .
    Am o intrebare:

    Dacă |a|=|b|, calculează f(\bar{a}) și f(b). Ce se observă? Dacă f e injectivă, poate fi și surjectivă?


    Am calculat si f(\bar{a})=ab+|b^{2}| care da acelasi lucru cu f(b)=ab+|b^{2}|.
    Daca presupun ca f injectiva=> \bar{a}= b
    Daca inlocuiesc in (1) si (2) => \bar{u}= u deci u este real, ceea ce inseamna ca f nu poate fi surjectiva, Imf nu este C.
    Acesta era scopul urmarit sau?

  5. gigelmarga
    profesor

    Da.

Raspunde

Raspunde