Home/ Intrebari/Q 92453
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Mishu
Pe: 2017-12-08T12:35:10+02:00 In: In:

partea intreaga

Buna ziua!
Se da multimea A= multimea tuturor numerelor de forma a+bxradical din 3,unde a si b apartin lui Z.
Se cere sa se arate ca multimea B=multimea tuturor elemente X apartinand lui A cu proprietataea ca [X]=0, are cel putin 2017 elemente!

Va multumesc frumos!

bxradical din 3 inseamna b inmultit cu radical din 3.

Similare

18 raspunsuri

  1. A_Cristian
    expert (VI)

    Primul pas este sa demonstrezi ca a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3} \Leftrightarrow a=c\;si\;b=d\;unde\;a,b,c,d \in \mathbb{Z}.
    Apoi te gandesti cum poti sa construiesti 2017 numere din A a caror parte intreaga sa fie 0.

  2. gigelmarga
    profesor

    A_Cristian post_id=110094 time=1512754825 user_id=21123 wrote:
    Primul pas este sa demonstrezi ca a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3} \Leftrightarrow a=c\;si\;b=d\;unde\;a,b,c,d \in \mathbb{Z}.

    Mai degrabă, primul pas ar fi să arătăm că x,y \in A \Rightarrow xy \in A.
    Apoi să observăm că 2-\sqrt{3} \in A și [2-\sqrt{3}]=0...

  4. A_Cristian
    expert (VI)

    Eu propuneam sa construim sirul de numere x_n=-[n\cdot\sqrt{3}]+n\cdot\sqrt{3}.

  5. Mishu

    Va multumesc frumos pentru raspunsuri!
    Exercitiul este pentru clasa a 9-a.
    Am tot incercat si am obtinut ca partea intreaga din bxradical din 3 =-a.
    Dand apoi valori lui b in Z,sa zicem pt b=1,obtinem a=-1 care verifica,pt b=2 obtinem a=-3,si asa mai departe,obtin astfel o infinitate de solutii.

  6. A_Cristian
    expert (VI)

    Ambele raspunsuri sunt pentru clasa a 9-a.
    Nu se dau valori pentru rezolvarea problemei.
    Atat solutia prezentata de mine cat si ideea sugerata de domnul profesor se bazeaza pe logica si demonstratie matematica.
    PS: Solutia domnului profesor este interesanta si ar fi bine s-o duci si pe ea la capat.

  8. Mishu

    Am dat valori doar pt a arata ca exista o infinitate de solutii,nu inteleg ce rost are acolo acel 2017.
    Am tot incercat sa-i dau de cap,dar nu reusesc,sper sa reusesc cu indicatiile dvs.
    Multumesc!

  9. gigelmarga
    profesor

    A_Cristian post_id=110097 time=1512757589 user_id=21123 wrote:
    Eu propuneam sa construim sirul de numere x_n=-[n\cdot\sqrt{3}]+n\cdot\sqrt{3}.

    Adică x_n=\{n\sqrt{3}\}. Corect, excelentă idee. Dar greu de ghicit doar din indicație… 🙂

  10. Mishu

    Am ajuns,asa cum am scris mai sus la rezultatul urmator:
    -a=partea intreaga din bxradical din 3.
    Deci, a+bxradical din 3(care are partea intreaga=0)=bxradical din 3 -partea intreaga din bxradical din 3,deci exista o infinitate de numere de acest tip,oricare ar fi b in Z,nu?
    E corect?

  12. gigelmarga
    profesor

    Mishu post_id=110105 time=1512766596 user_id=13613 wrote:
    Am ajuns,asa cum am scris mai sus la rezultatul urmator:
    -a=partea intreaga din bxradical din 3.
    Deci, a+bxradical din 3(care are partea intreaga=0)=bxradical din 3 -partea intreaga din bxradical din 3,deci exista o infinitate de numere de acest tip,oricare ar fi b in Z,nu?
    E corect?

    Fără supărare, scrieți în Latex, altfel pierd vremea să traduc ce ați postat, și chiar nu am timp de așa ceva. Dar, desigur, dacă nu vă interesează ce aș putea răspunde eu, nu folosiți Latex.

  13. Mishu

    Din [a+b\sqrt{3}]=a+[b\sqrt{3}]=0,rezulta ca [b\sqrt{3}]=-a,deci a+b\sqrt{3}=b\sqrt{3}
    -[b\sqrt{3}],numar care apartine multimii A,cu proprietatea ca partea intreaga din el este 0. Oricare ar fi b din Z,rezulta ca exista o infinitate de numere care satisfac cerinta.Nu inteleg ce rost are acel 2017 in exercitiu.
    Este corecta rezolvarea?
    Va multumesc frumos!

  14. gigelmarga
    profesor

    Mishu post_id=110107 time=1512768387 user_id=13613 wrote:
    deci a+b\sqrt{3}=b\sqrt{3}-[b\sqrt{3}]

    ??

  16. Mishu

    Vreau sa zic ca numerele de forma b\sqrt{3}-[b\sqrt{3}] apartin lui A si au si proprietatea ca partea intreaga din ele este 0.
    E in regula?

  17. A_Cristian
    expert (VI)

    Trebuie sa demonstrezi ca sunt unice. Altfel solutia nu e corecta.
    Nu trebuie sa te incurci in cerintele problemei. Uneori ele sunt mai „slabe” doar pentru a face problema sa „sune” mai frumos.
    Altfel, putem generaliza problema astfel:
    Fie A_x=\begin{Bmatrix} a+b\cdot x| a,b \in \mathbb{Z{}} \end{Bmatrix} \text{ unde x este nu numar real} si B_x=\begin{Bmatrix} y| y \in A_x,\;[y]=0 \end{Bmatrix}
    Sa se demonstreze ca multimea B_x este finita daca si numai daca x este numar rational.

  18. Mishu

    Am incercat toate pistele.
    Daca b este unic,atunci si a=-[b\sqrt{3}],este unic,nu?
    Dar b ia o infinitate de valori,atunci si a ia o infinitate de valori,nu?

  20. A_Cristian
    expert (VI)

    Corect, insa trebuie sa demonstrezi ca si a+b\sqrt{3} este unic.
    Uite, poti sa spui cine este Ax si cine este Bx pentru unul dintre cele mai simple cazuri, x=1?
    Pentru fiecare b, exista un a unic astfel incat a=-[bx]. Si cu toate acestea B1 are …. elemente. Completeaza punctele de suspensie.

  21. Mishu

    Unicitatea este simplu de demonstrat!
    Puteti sa dati si dvs o rezolvare corecta a exercitiului?

  22. gunty
    maestru (V)

        \[\begin{array}{l} Fie\;b \in Z\;arbitrar.\\ Cautam\;a \in Z\;astfel\;incat\;\left[ {a + b\sqrt 3 } \right] = 0:\\ \quad \quad \quad \left[ {a + b\sqrt 3 } \right] = 0 \Leftrightarrow a + \left[ {b\sqrt 3 } \right] = 0 \Leftrightarrow a = - \left[ {b\sqrt 3 } \right].\\ \\ In\;concluzie,\quad - \left[ {b\sqrt 3 } \right] + b\sqrt 3 \in B,\;\forall b \in Z.\quad \Rightarrow \left| B \right| \ge 2017. \end{array}\]

  24. A_Cristian
    expert (VI)

    Concluzia nu e directa.
    Inlocuieste \sqrt{3} cu 1. In acel caz, desi exista o infinitate de b si o infintate de a, singurul numar care verifica identitatea [a+b*1]=0 este 0.
    Vezi generalizarea data de mine mai sus.

Raspunde

Raspunde