Home/ Intrebari/Q 92446
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

quaintej
Pe: 2017-12-03T09:53:51+02:00 In: In:

Inegalitate cu logaritmi naturali

Buna ziua! Am nevoie de o sugestie pentru urmatoarea problema:
Demonstrati ca \frac{\ln a_{1}}{\ln(a_{2}\cdot a_{3}\cdot...\cdot a_{n})} +\frac{\ln a_{2}}{\ln(a_{1}\cdot a_{3}\cdot...\cdot a_{n})} +...+ \frac{\ln a_{n}}{\ln(a_{1}\cdot a_{2}\cdot...\cdot a_{n-1})} \geq \frac{n}{n-1} unde a_{i} > 1
M-am gandit sa demonstrez ca fiecare fractie este \geq \frac{1}{n-1} dar nu vad cum.. apoi am incercat cu media aritmetica si media geometrica, pentru toata suma de n termeni, dar nu am idee ce sa fac cu {\ln(a_{1}\cdot a_{2}\cdot... \cdot a_{n-1}) si ceilalti numitori.
Multumesc anticipat!

Similare

5 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Dacă notezi ln a_i=b_i,\;\;\sum_{i=1}^{n}b_i=s,\;\frac{x}{s-x}=f(x):\;\;b_i\in (0;s) și inegalitatea se scrie
    \sum_{i=1}^{n}f(b_i)\geq \frac{n}{n-1}
    Funcția f este convexă pe (0; s), deci \frac{\sum_{i=1}^{n}f(b_i)}{n}\geq f(\frac{s}{n}).

  2. quaintej

    Am doua nelamuriri, afirmatia ca f este convexa pe (0,s) se bazeaza pe graficul acesteia?( daca bine am vazut,f este strict crescatoare)?
    Si inegalitatea aplicata este cea a lui Jensen?( ii stiu doar forma generala, si desi cred ca am inteles pentru ce valori e aplicata, as vrea sa fiu sigur ca nu gresesc).
    In rest,multumesc pentru explicatii!

  4. ghioknt
    profesor

    quaintej post_id=110077 time=1512410940 user_id=21713 wrote:
    Am doua nelamuriri, afirmatia ca f este convexa pe (0,s) se bazeaza pe graficul acesteia?( daca bine am vazut,f este strict crescatoare)?
    Si inegalitatea aplicata este cea a lui Jensen?( ii stiu doar forma generala, si desi cred ca am inteles pentru ce valori e aplicata, as vrea sa fiu sigur ca nu gresesc).
    In rest,multumesc pentru explicatii!

    Da, la clasa a 10-a, convexitatea unei funcții pe un interval se poate baza pe forma graficului acesteia, nu pe monotonie. Functia este convexă pe un interval dacă oricare ar fi 2 puncte de pe grafic, orice punct care se află pe coarda care unește cele 2 puncte are ordonata >,= decât a punctului de pe grafic având aceeași abscisă (coarda – deasupra, graficul – dedesubt). Exemple: o funcție de gradul al doilea cu a>0 este convexă pe R, iar cu a<0, este concavă; functia sinus este concavă pe [0; pi], convexă pe [pi; 2pi] șamd.

    Da, inegalitatea aplicată este a lui Jensen. Pentru a „beneficia” de ea, este suficient să arăți că situația descrisă mai sus are loc, nu pentru toate punctele unei coarde, ci doar prntru mijlocul ei:
    \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\geq f(\frac{x_1+x_2}{2}) – inegalitatea lui Jensen pentru 2 puncte.
    Căci dacă inegalitatea are loc pentru oricare 2 puncte dintr-un interval, atunci ea are loc pentru oricare n puncte, în particular și pentru unele aflate în situația b_1+b_2+\;...\.+b_n=s.
    Pentru funcția noastră, scrisă f(x)=-1+\frac{s}{s-x}, inegalitatea lui J. pentru 2 puncte se scrie:
    \frac{1}{2}\left ( -1+\frac{s}{s-x_1}-1+\frac{s}{s-x_2} \right )\geq -1+\frac{s}{s-\frac{x_1+x_2}{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{s-x_1}+\frac{1}{s-x_2} \right )\geq \frac{2}{s-x_1+s-x_2}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \frac{2}{\frac{1}{s=x_1}+\frac{1}{s-x_2}}\leq \frac{s-x_1+s-x_2}{2},
    adică inegalitatea dintre media armonică și cea aritmetică.

    Cred că există multe demonstrații pentru această inegalitate. Iată una care combină inegalitatea lui Cebâșev cu C.B.S. Este clar că dacă b_1,...,b_n are o anumită monotonie, atunci \frac{1}{s-b_1},...\frac{1}{s-b_n}
    are aceeași monotonie, deci cf. Cebâșev:
    \frac{b_1}{s-b_1}+...+\frac{b_n}{s-b_n}\geq \frac{1}{n}(b_1+...+b_n)(\frac{1}{s-b_1}+...+\frac{1}{s-b_n})=\\=\frac{1}{n(n-1)}(s-b_1+...+s-b_n)(\frac{1}{s-b_1}+...+\frac{1}{s-b_n})\geq \frac{1}{n(n-1)}\cdot n^2

  5. quaintej

    Mulțumesc frumos pentru explicatii, mi s-au clarificat toate nelămuririle 😀

  6. ghioknt
    profesor

    quaintej post_id=110082 time=1512545287 user_id=21713 wrote:
    Mulțumesc frumos pentru explicatii, mi s-au clarificat toate nelămuririle 😀

    … plus altele despre care nici nu știam că le am! 🙂

Raspunde

Raspunde