Home/ Intrebari/Q 92336
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

razvanw0w
Pe: 2017-08-20T12:31:43+03:00 In: In:

Egalitate, arcsin

Să se arate că \arcsin(3x-4x^3) = 3\arcsin x \: , \: x \in [-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2].

M-am gândit că funcția g:[-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2] \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \arcsin(3x-4x^3) - 3\arcsin x este constantă și egală cu 0 pentru acel domeniu, dar se pare că dacă derivez funcția, aceasta nu este nulă. Cum ar trebui să atac problema aceasta?

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Evident, intervalul precizat este greșit; funcția arcsin este definită doar pe intervalul [-1; 1], nu pe intervalul mai
    larg [-pi/2; pi/2].
    Fie funcția f(x)=arcsin(3x-4x*3). Condițiile de existență, -1\leq 3x-4x^3\leq 1
    sunt echivalente cu (x-1)(2x+1)^2\leq 0\;(x+1)(2x-1)^2\geq 0 și conduc la domeniul maxim de
    existență,intervalul [-1; 1]. Pentru că funcția arcsin nu este derivabilă în -1 și 1, e posibil ca nici f să nu fie
    derivabilă în punctele în care inegalitățile de mai sus devin egalități, adică în -1, -1/2, 1/2, 1. Cu siguranță f este
    derivabilă pe intevalele (-1; -1/2), (-1/2; 1/2), (1/2; 1) pe care putem scrie
    f'(x)=\frac{3-12x^2}{\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}}=\frac{3(1-4x^2)}{\sqrt{(1-3x+4x^3)(1+3x-4x^3)}}=\frac{3(1-4x^2)}{\sqrt{(1+x)(2x-1)^2(1-x)(2x+1)^2}}=\\=\frac{3(1-4x^2)}{|4x^2-1|\sqrt{1-x^2}}
    x\in (-1;-\frac{1}{2}):\;f'(x)=-g'(x);\;deci\;f(x)=-g(x)+c_1\;pe\;[-1;-\frac{1}{2}]
    x\in (-\frac{1}{2};\frac{1}{2}):\;f'(x)=g'(x);\;deci\;f(x)=g(x)+c_121\;pe\;[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]
    x\in (\frac{1}{2};1):\;f'(x)=-g'(x);\;deci\;f(x)=-g(x)+c_3\;pe\;[\frac{1}{2};1].
    Valorile celor trei constante, respectiv -pi, 0, pi, se obțin dând lui x valorile -1, 0, 1.
    f(x)=\begin{cases}-3arcsinx-\pi \;pt.\;x\in [-1;-\frac{1}{2})\\3arcsinx\;\;pt.\;x\in [-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]\\-3arcsinx+\pi \;pt.\;x\in (\frac{1}{2};1] \end{cases}

    Soluție elementară. Pentru orice x pentru care egalitatea are loc,
    arcsin(3x-4x^3)\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\Rightarrow 3arcsinx\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\Leftrightarrow \\arcsinx\in [-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}]\Leftrightarrow x\in [-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]
    deci x\in [-\frac{1}{2};\frac{1}{2}] este o condiție necesară pentru ca egalitatea să aibă loc.
    Este ea și suficientă? Dacă această condiție are loc, atunci ambii membri sunt numere din intervalul [-pi/2; pi/2]
    pe care functia sin este injectivă, deci
    arcsin(3x-4x^3)=3arcsinx\Leftrightarrow \sin(arcsin(3x-4x^3))=\sin(3arcsinx)\\\Leftrightarrow 3x-4x^3=3\sin(arcsinx)-4\sin^3(arcsinx)
    care este evident adevarată.

  2. razvanw0w

    ghioknt post_id=109577 time=1503344561 user_id=18683 wrote:
    Evident, intervalul precizat este greșit; funcția arcsin este definită doar pe intervalul [-1; 1], nu pe intervalul mai
    larg [-pi/2; pi/2].
    Fie funcția f(x)=arcsin(3x-4x*3). Condițiile de existență, -1\leq 3x-4x^3\leq 1
    sunt echivalente cu (x-1)(2x+1)^2\leq 0\;(x+1)(2x-1)^2\geq 0 și conduc la domeniul maxim de
    existență,intervalul [-1; 1]. Pentru că funcția arcsin nu este derivabilă în -1 și 1, e posibil ca nici f să nu fie
    derivabilă în punctele în care inegalitățile de mai sus devin egalități, adică în -1, -1/2, 1/2, 1. Cu siguranță f este
    derivabilă pe intevalele (-1; -1/2), (-1/2; 1/2), (1/2; 1) pe care putem scrie
    f'(x)=\frac{3-12x^2}{\sqrt{1-(3x-4x^3)^2}}=\frac{3(1-4x^2)}{\sqrt{(1-3x+4x^3)(1+3x-4x^3)}}=\frac{3(1-4x^2)}{\sqrt{(1+x)(2x-1)^2(1-x)(2x+1)^2}}=\\=\frac{3(1-4x^2)}{|4x^2-1|\sqrt{1-x^2}}
    x\in (-1;-\frac{1}{2}):\;f'(x)=-g'(x);\;deci\;f(x)=-g(x)+c_1\;pe\;[-1;-\frac{1}{2}]
    x\in (-\frac{1}{2};\frac{1}{2}):\;f'(x)=g'(x);\;deci\;f(x)=g(x)+c_121\;pe\;[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]
    x\in (\frac{1}{2};1):\;f'(x)=-g'(x);\;deci\;f(x)=-g(x)+c_3\;pe\;[\frac{1}{2};1].
    Valorile celor trei constante, respectiv -pi, 0, pi, se obțin dând lui x valorile -1, 0, 1.
    f(x)=\begin{cases}-3arcsinx-\pi \;pt.\;x\in [-1;-\frac{1}{2})\\3arcsinx\;\;pt.\;x\in [-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]\\-3arcsinx+\pi \;pt.\;x\in (\frac{1}{2};1] \end{cases}

    Soluție elementară. Pentru orice x pentru care egalitatea are loc,
    arcsin(3x-4x^3)\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\Rightarrow 3arcsinx\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\Leftrightarrow \\arcsinx\in [-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}]\Leftrightarrow x\in [-\frac{1}{2};\frac{1}{2}]
    deci x\in [-\frac{1}{2};\frac{1}{2}] este o condiție necesară pentru ca egalitatea să aibă loc.
    Este ea și suficientă? Dacă această condiție are loc, atunci ambii membri sunt numere din intervalul [-pi/2; pi/2]
    pe care functia sin este injectivă, deci
    arcsin(3x-4x^3)=3arcsinx\Leftrightarrow \sin(arcsin(3x-4x^3))=\sin(3arcsinx)\\\Leftrightarrow 3x-4x^3=3\sin(arcsinx)-4\sin^3(arcsinx)
    care este evident adevarată.

    Multumesc mult pentru abordarea dumneavoastra! Am inteles rezolvarea!

Raspunde

Raspunde